初三數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題提優(yōu)《拋物線(xiàn)與特殊四邊形》

1、<p>　　初三數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題提優(yōu)《拋物線(xiàn)與特殊四邊形》</p><p>　　拋物線(xiàn)中的特殊四邊形問(wèn)題通常是在拋物線(xiàn)圖像與性質(zhì)的背景下，通過(guò)運(yùn)算證明特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形)的判定條件，解法比較靈活，綜合性較強(qiáng)，偏重于考查考生分析圖形、以算代證、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.學(xué)生要較熟練地應(yīng)用待定系數(shù)法、方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想和特殊四邊形的性質(zhì)和判定公

2、理.</p><p>　　類(lèi)型一 拋物線(xiàn)與平行四邊形</p><p>　　1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)為(－2,0),與軸的交點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn).</p><p>　　(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;</p><p>　　(2)經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)平移后與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)

3、，求出點(diǎn)的坐標(biāo).</p><p>　　2.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸相交于,兩點(diǎn).</p><p>　　(1) 0, 0(填“>”或 “<”);</p><p>　　(2)若該拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;</p><p>　　(3)在(2)的條件下，連接是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交軸于點(diǎn)

4、.是否存在這樣的點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形?若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.</p><p>　　3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0）．</p><p>　?。?）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；</p><p>　?。?/p>

5、2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S．</p><p><b>　?、偾骃的最大值；</b></p><p>　　②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)S的值．</p><p>　　4．如圖，拋物線(xiàn)

6、經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)．</p><p>　?。?）求拋物線(xiàn)的解析式；</p><p>　?。?）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；</p><p>　?。?）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．</p&

7、gt;<p>　　類(lèi)型二 拋物線(xiàn)與矩形、菱形、正方形</p><p>　　5.如圖，已知拋物線(xiàn)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).</p><p>　　(1)求拋物線(xiàn)的解析式;</p><p>　　(2)若是拋物線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與重合)，過(guò)點(diǎn)分別作交于交于.</p><p>　?、偾笞C:四邊形是矩形;</p&g

8、t;<p>　?、谶B接，線(xiàn)段的長(zhǎng)是否存在最小值?若存在，求出的最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.</p><p>　　6.在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn).</p><p>　　(1)求過(guò)三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式; </p><p>　　(2)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.</p><

9、p>　?、佼?dāng)四邊形為菱形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo);</p><p>　?、谌酎c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大?并說(shuō)明理由.</p><p>　　7.如圖①，矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 (8,3)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為(12, 0)，動(dòng)點(diǎn) 從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以為斜邊在

10、軸上方作等腰直角三角形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.</p><p>　　(1)當(dāng)= 時(shí)，的邊經(jīng)過(guò)點(diǎn);</p><p>　　(2)設(shè)和矩形重疊部分的面積為,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;</p><p>　　(3)如圖②，過(guò)定點(diǎn)作，垂足為,當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)落在矩形 的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸、軸的平行線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，若，求的值.</p><p>　　8. 如圖

11、①，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.</p><p>　　(1)當(dāng)時(shí)，= ,= ;</p><p>　　當(dāng)時(shí), = ,= ;</p><p>　　(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，用含的代數(shù)式分別表示與b，并證明你的結(jié)論;</p><p>　　(3)利用(2)中的

12、結(jié)論，解答下列問(wèn)題:</p><p>　　如圖②，直線(xiàn)與軸，軸分別交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接.</p><p>　?、佼?dāng)時(shí)，求的值(用含的代數(shù)式表示); </p><p>　　②當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，與滿(mǎn)足的關(guān)系式為 ;</p><p>　　當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，= ，= .</p

13、><p>　　9．如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．</p><p>　?。?）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；</p><p>　　（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；</p><p>　?。?）在

14、（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．</p><p><b>　　參考答案</b></p><p>　　1.(1)拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸是，</p><p><b>　　解得，</b><

15、/p><p>　　拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.</p><p>　　(2)①當(dāng)時(shí)，如圖① </p><p>　　點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4)</p><p><b>　　②當(dāng)時(shí)，如圖②</b></p><p>　　點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－4，在拋物線(xiàn)上，</p><p><b&g

16、t;　　，或，</b></p><p><b>　　點(diǎn)的坐標(biāo)為或.</b></p><p><b>　　2.(1)＞＞</b></p><p>　　(2)直線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸，</p><p>　　將的坐標(biāo)分別代入，解得，</p><p><b>　　拋物線(xiàn)表達(dá)

17、式為.</b></p><p>　　(3)存在，理由如下：</p><p>　　(i)假設(shè)存在點(diǎn),作如圖1輔助線(xiàn)，四邊形為滿(mǎn)足條件的平行四邊形，</p><p>　　拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，存在點(diǎn).</p><p>　　(ii)假設(shè)還存在點(diǎn)，作如圖2輔助線(xiàn)，為滿(mǎn)足條件的平行四邊形，，的縱坐標(biāo)是4，</p><p>

18、<b>　　解得，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3. （1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，</p><p>　　所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y=﹣x2+x+8；</p><p>　　當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x

19、2=8，</p><p>　　所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）；</p><p>　　（2）①連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，﹣ t2+t+8），</p><p>　　∵S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，</p><p>　　∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=?4?t+?8?（﹣t2+t+8）﹣?4?8<

20、;/p><p>　　=﹣t2+6t+16</p><p>　　=﹣（t﹣3）2+25，</p><p>　　當(dāng)t=3時(shí)，△CDF的面積有最大值，最大值為25，</p><p>　　∵四邊形CDEF為平行四邊形，</p><p>　　∴S的最大值為50；</p><p>　?、凇咚倪呅蜟DEF為平行四

21、邊形，</p><p>　　∴CD∥EF，CD=EF，</p><p>　　∵點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D，</p><p>　　∴點(diǎn)F向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），</p><p>　　∵E（t﹣8，﹣ t2+t+12）在拋物線(xiàn)上，</p><p&g

22、t;　　∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，</p><p>　　當(dāng)t=7時(shí)，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，</p><p>　　∴此時(shí)S=2S△CDF=18．</p><p>　　4.（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），</p><p>　　∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)在

23、拋物線(xiàn)上，</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　解得．</b></p><p>　　∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣2x﹣；</p><p>　?。?）∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣2x﹣，</p><p>　　∴其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=﹣=2，

24、</p><p>　　連接BC，如圖1所示，</p><p>　　∵B（5，0），C（0，﹣），</p><p>　　∴設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b（k≠0），</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　解得，</b></p>&

25、lt;p>　　∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣，</p><p>　　當(dāng)x=2時(shí)，y=1﹣=﹣，</p><p><b>　　∴P（2，﹣）；</b></p><p><b>　?。?）存在．</b></p><p><b>　　如圖2所示，</b></p>&

26、lt;p>　　①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，</p><p>　　∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，C（0，﹣），</p><p><b>　　∴N1（4，﹣）；</b></p><p>　?、诋?dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，</p><p>　　如圖，過(guò)點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，</p><p>　　在△AN2

27、D與△M2CO中，</p><p>　　∴△AN2D≌△M2CO（ASA），</p><p>　　∴N2D=OC=，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．</p><p><b>　　∴x2﹣2x﹣=，</b></p><p>　　解得x=2+或x=2﹣，</p><p>　　∴N2（2+，），N3（2﹣，）．&l

28、t;/p><p>　　綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．</p><p>　　5.(1)圖像過(guò)點(diǎn)，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)①作如圖輔助線(xiàn)， 代入，</p><p><b>　　解得或(舍去)..</b>

29、</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　是矩形.</b></p><p>　　②存在，連接.當(dāng)時(shí)，，的值最小是2.</p><p><b>　　6.(1)</b></p><p><b>　　(2)①點(diǎn)坐標(biāo)為或&l

30、t;/b></p><p>　?、跁r(shí)，四邊形的面積最大.</p><p><b>　　7.(1)</b></p><p>　　(2)三種情況：①時(shí)，如圖甲，</p><p><b>　　②時(shí)，如圖乙,</b></p><p><b>　　③時(shí)，如圖丙，<

31、/b></p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　8.(1)3,4 1,6</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　(3)①</b></p><p>　?、谌羲倪呅螢榱庑?，；</p&

32、gt;<p>　　若四邊形為正方形，.</p><p>　　9.（1）∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　解得，，</b></p><p>　　∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式

33、為y=﹣x2+2x+3；</p><p>　?。?）如圖1，連接PC、PE，</p><p><b>　　x=﹣=﹣=1，</b></p><p>　　當(dāng)x=1時(shí)，y=4，</p><p>　　∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），</p><p>　　設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為：y=mx+n，</p>

34、<p><b>　　則，</b></p><p><b>　　解得，，</b></p><p>　　∴直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣2x+6，</p><p>　　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），</p><p>　　則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）

35、2，</p><p><b>　　∵PC=PE，</b></p><p>　　∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，</p><p><b>　　解得，x=2，</b></p><p>　　則y=﹣2×2+6=2，</p><p>　　∴點(diǎn)P的

36、坐標(biāo)為（2，2）；</p><p>　?。?）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），</p><p>　　∵以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，</p><p>　　∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，</p><p>　　當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí)，</p><p>　　整

37、理得，a2﹣3a﹣1=0，</p><p><b>　　解得，a=，</b></p><p>　　當(dāng)2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，</p><p>　　整理得，a2﹣a﹣5=0，</p><p><b>　　解得，a=，</b></p><p>　　∴當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)