反饋鎮(zhèn)定與極點配置

1、反饋鎮(zhèn)定與極點配置,Lyapunov定理,對于線性系統(tǒng) ，該線性系統(tǒng)零解漸進(jìn)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值位于左半平面。另一方面，如果取二次型 作為Lyapunov函數(shù)，其中V是正定矩陣，那么 對任意的非零x小于零，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 定理：A的特征值都在左半平面當(dāng)且僅當(dāng)存在正定矩陣V使 得,,,,,,,,,,,開問題(Open proble

2、m),給定兩個矩陣A1、A2，什么條件下有共同的正定矩陣V使得,,反饋鎮(zhèn)定,定義,,,,把系統(tǒng)狀態(tài)變量按照一定的比例關(guān)系，反饋到系統(tǒng)的輸入端稱為狀態(tài)反饋。 把系統(tǒng)的輸出變量按照一定的比例關(guān)系反饋到系統(tǒng)的輸入端稱為輸出反饋。 受控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋或者輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的，稱為鎮(zhèn)定問題。如果可以實現(xiàn)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋或者輸出反饋可鎮(zhèn)定的。,輸出反饋,,,,輸出反饋,閉環(huán)系統(tǒng)為

3、 輸出反饋控制器設(shè)計就是確定K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即，使得A－BKC穩(wěn)定(也叫Hurwitz穩(wěn)定——特征值在左半平面)或者具有其它性能指標(biāo)。,,,狀態(tài)反饋,閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)反饋控制器設(shè)計就是確定K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即A－BK穩(wěn)定或者具有其它性能指標(biāo)。,,,,兩種控制率的比較,輸出反饋：狀態(tài)反饋：,,,,凡是輸出反饋K所能達(dá)到的控制效果，只要取狀態(tài)反饋則可達(dá)到同樣的控制效果。但是，反過來由F和C在(1)式中不一定能解

4、出矩陣K來。這說明狀態(tài)反饋F有可能獲得比輸出反饋K更多的控制效果，其中有的控制效果可能更好。,觀測器,由于在實際系統(tǒng)中狀態(tài)不容易通過實際測量得到，所以有時需要通過輸入和輸出重新構(gòu)造一個系統(tǒng)使得新系統(tǒng)的狀態(tài)能逼進(jìn)原系統(tǒng)的狀態(tài)。,,漸近等價指標(biāo)：,對系統(tǒng)能控能觀性的影響,狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性，但有可能改變能觀性。,,,,輸出反饋既不改變系統(tǒng)的能控性，也不改變能觀性。,動態(tài)反饋,,,,,,,,,,,,-,G(s),K(s),u

5、,y,對象: 控制器:,動態(tài)反饋,閉環(huán)系統(tǒng)為 控制器設(shè)計就是設(shè)計Ak、Bk、Ck、Dk使得穩(wěn)定。,,極點配置,,閉環(huán)系統(tǒng)極點的分布情況決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)，因此，可以根據(jù)對系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)的極點應(yīng)有的分布情況，把極點的布置作為系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)指標(biāo)。這種把極點布置在希望的位置的過程稱為極點配置。 狀態(tài)反饋可以任

6、意配置極點的充要條件是(A，B)可控。即存在K使得可以任意配置A－BK的特征值當(dāng)且僅當(dāng)(A，B)可控。,,,,極點配置,,例如對于單輸入系統(tǒng) 設(shè)計K=[k1 k2 k3 … kn]改變A－BK的最后一行元素，所以可以任意配置A+BK的特征值；,,,,極點配置,,設(shè)希望的閉環(huán)特征多項式為 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為令其與希望的閉環(huán)特征多項式相等，可得 ，則,,

7、極點配置,極點配置,,,,鎮(zhèn)定問題是極點配置問題的一個特殊情況。鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點配置在復(fù)數(shù)平面的左半平面內(nèi)，不必配置在具體指定的位置。即鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點都具有負(fù)的實部。,實例：倒擺控制,,,選擇狀態(tài)變量：,,,系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,為了對倒擺進(jìn)行控制，考慮 的方程,開環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 ，它在s平面的右半平面上一個特征根，因此原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。引入

8、反饋控制,,,將u(t)代入式(1)得,系統(tǒng)的特征方程為,可見只要,就能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,實例：鎖相環(huán),,,應(yīng)用：,通信 大規(guī)模集成電路,實例：鎖相環(huán),,,,,,,,,,,,,-,Gfilt(s),sin(.),z,F/s,實例：鎖相環(huán),,,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,1、求特征值：eig(A),A=[-3 1 0;4 0 –3;-6 8 10]; B=[1;0;-1]; C=[1 2 1];,ans = -3.5049

9、 4.3754 6.1295,例：,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,2、求特征多項式 s=poly(A),s = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000,3、求特征根 roots(s),ans = -3.5049 6.1295 4.3754,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,4、求能控性和能觀性矩陣： Qc=ctrb(A,B)

10、 Qo=obsv(A,C),Qc = 1 -3 16 0 7 36 -1 -16 -86,Qo = 1 2 1 -1 9 4 15 31 13,5、求矩陣的秩 rank(Qc) rank(Qo),ans = 3,an

11、s = 3,系統(tǒng)能控能觀！,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,6、求矩陣的行列式 det(Qc),7、傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間實現(xiàn)的轉(zhuǎn)換 [num,den]=ss2tf(A,B,C),ans = 194,num = 0 0.0000 -5.0000 37.0000den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000

12、,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,[A,B,C,D]=tf2ss(num,den),a = 7.0000 10.0000 -94.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0b = 1 0 0c = 0.0000 -5.0000 37.0

13、000d = 0,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,8、二維圖象的繪制 t=0:0.1:2*pi; plot(t,sin(t),’-pentagram’);,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,9、三維曲線的繪制 t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);z=t; plot3(x,y,z,’r-’);,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算

14、,,,10、三維曲面的繪制 [x,y]=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.1:2); z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]); mesh(x,y,z);,利用MATLAB進(jìn)行輔助運算,,,11、help 指令名稱,12、lookfor 關(guān)鍵詞,實例：衛(wèi)星軌道控制,,下圖描述了地球上空高度為463km的

15、赤道園軌道衛(wèi)星,實例：衛(wèi)星軌道控制,,衛(wèi)星在軌道平面中運動的狀態(tài)方程為,狀態(tài)向量x表示赤道圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)攝動，ur表示從徑向推進(jìn)器獲得的徑向輸入，ut表示從切向推進(jìn)器獲得的切向輸入，衛(wèi)星的軌道角速度為?＝0.0011rad/s（約為每圈90分鐘）。,實例：衛(wèi)星軌道控制,,結(jié)論：當(dāng)切向推進(jìn)器失效，只有徑向推進(jìn)器正常工作時， 系統(tǒng)是不能控的。 當(dāng)徑向推進(jìn)器失效，只有切向推進(jìn)器正常工作時，

16、 系統(tǒng)是完全能控的。參考文獻(xiàn)：[1] R.H.Bishop. Adaptive control of space station with control moment gyros. IEEE Control Systems, October 1992, pp.23-27[2] Rama K.Yedavalli. Robust control design for aerospace applica