《數(shù)學(xué)方法論》講稿

1、第1頁共54頁《數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法論》講稿一、概一、概論1、數(shù)學(xué)方法論的概論數(shù)學(xué)方法論就是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問（徐利治教授在1983年寫的《數(shù)學(xué)方法論選講》）。顯然數(shù)學(xué)方法論不僅涉及思維的對象數(shù)學(xué)本身的辯證性，也涉及思維過程認(rèn)識及反映過程的辯證性，也就是說數(shù)學(xué)方法論不僅涉及到數(shù)學(xué)科學(xué)而且也涉及到思維科學(xué)。解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾曾寫過專著《方法論》，他特別強調(diào)怎樣從數(shù)學(xué)解題過程

2、中總結(jié)出一般的思想方法及法則。他曾說過這樣的話：“我們所解決的每個問題，都成為以后解決其它問題的規(guī)則?！?7世紀(jì)偉大的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家萊布尼茲也曾寫過《論發(fā)明的技巧》等。2、宏觀數(shù)學(xué)方法論與微觀數(shù)學(xué)方法論推動數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個因素：一是社會生產(chǎn)實踐及科學(xué)技術(shù)發(fā)展的客觀要求，這是外部因素；二是數(shù)學(xué)自身內(nèi)部的矛盾運動，這是內(nèi)部因素。在數(shù)學(xué)的整個發(fā)展過程中，這兩個因素是相互交叉滲透的。在數(shù)學(xué)方法論的研究中，如果撇開社會生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)的推動的外

3、部動力，專就數(shù)學(xué)內(nèi)部體系結(jié)構(gòu)中特定問題進行研究，第3頁共54頁公元前6世紀(jì)到公元17世紀(jì)。這個時期數(shù)學(xué)研究的對象主要是客觀事物相對靜止?fàn)顟B(tài)下保持不變的量和形。數(shù)學(xué)對象是從實際事物的性質(zhì)中抽象出來并把它理想化成純粹的數(shù)學(xué)研究對象，并運用邏輯方法（主要是演繹法）把過去經(jīng)驗積累的零亂的數(shù)學(xué)知識整理成為演繹體系。數(shù)學(xué)引入了自己專有的符號系統(tǒng)，數(shù)學(xué)的表述、計算、推理和證明的方法日趨完善，這樣，數(shù)學(xué)就從解決實際問題發(fā)展成為獨立的科學(xué)，并形成了算術(shù)、

4、幾何、代數(shù)、三角等分支。出現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。如：公理化思想和方法（歐幾里得），形式邏輯（歸納法和演繹法，亞里斯多德），歸納邏輯（實驗法和歸納法，弗蘭西培根），極限的思想和方法（劉徽，九章算術(shù)）。（3）變量數(shù)學(xué)時期17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代。這個時期人們對自然界的認(rèn)識，從研究客觀事物的相對靜止?fàn)顟B(tài)進而探索運動變化規(guī)律。數(shù)學(xué)研究的對象亦從常量到變量、從離散量到連續(xù)量、從有限到無限、從簡單圖形到復(fù)雜圖形，從靜態(tài)到動態(tài)的擴展，