數(shù)學方法論

1、題目類型,一、單選題（每小題3分，共15分）二、填空題（每小題3分，共15分）三、名詞解釋（每小題5分，共10分）四、簡答題（每小題5分，共10分）五、論述題（15分）六、邏輯證明（用真值表證明命題等價）（11分）七、證明與計算（12分×2）,緒論 第二節(jié) 學習中學數(shù)學思想方法的意義,一、有助于樹立正確的數(shù)學觀二、促進數(shù)學方法的普及和人才的培養(yǎng)三、數(shù)學方法對于數(shù)學的發(fā)展起著關(guān)鍵性的推動作用

2、 如歷史上古希臘三大尺規(guī)作圖難題，就是笛卡爾創(chuàng)立解析幾何之后，數(shù)學家們借助解析幾何，采用了RMI(關(guān)系——映射——反演)方法，才得到徹底的解決；又如，代數(shù)方程的根式解的問題，也是在伽羅瓦群論思想方法的指導下，才得以圓滿解決；不僅如此，群論的思想方法還使得代數(shù)學的研究發(fā)生了巨大的變革，從古典的局部性研究轉(zhuǎn)向了近代的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)整體性的研究。,第一章 數(shù)學的起源與發(fā)展,第一節(jié) 數(shù)學發(fā)展各個時期簡析數(shù)學的萌芽時期

3、 ———從遠古到公元前六世紀常量數(shù)學或初等數(shù)學時期 ———從公元前六世紀到公元十七世紀初變量數(shù)學時期 ———從十七世紀初到十九世紀20年代。 這個時期的起點是笛卡爾的著作。近代數(shù)學時期 ———十九世紀20年代到20世紀40年代?，F(xiàn)代數(shù)學時期 ———從20世紀40年代至現(xiàn)在,數(shù)學萌芽時期,1.數(shù)學的對象 天文歷法的計算

4、， 土地丈量的長度、面積、體積的計算， 商業(yè)交往中運輸、交換的計算等2.數(shù)學發(fā)展的特點 （1）數(shù)學研究的對象是初步的算術(shù)和幾何的計算知識；算術(shù)和幾何結(jié)合在一起研究 （2）數(shù)學概念的形成比較緩慢，數(shù)學知識是片斷的、零碎的，缺乏邏輯因素，沒有形成嚴謹?shù)目茖W體系 （3）已經(jīng)逐步出現(xiàn)了一些數(shù)學概念和一些抽象的數(shù)學符號， 產(chǎn)生了具有一定關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學系統(tǒng)—

5、— 算術(shù) （4）為建立抽象的數(shù)學理論科學，從思想和方法上積累了豐富的素材,常量數(shù)學或初等數(shù)學時期,1.數(shù)學的對象 研究對象是客觀事物在相對靜止的狀態(tài)下保持不變的數(shù)量和圖形，即常量。研究方法采用了邏輯方法（主要是演繹法）2.主要發(fā)明創(chuàng)造 希臘在幾何發(fā)展方面有突出貢獻。歐幾里得的《幾何原本》是這個時期的重大貢獻，它是從經(jīng)驗數(shù)學到理論數(shù)學的標志。 中國的《九章算術(shù)

6、》是這個時期杰出的數(shù)學著作,九章算術(shù),《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就。同時，《九章算術(shù)》在數(shù)學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。要注意的是《九章算術(shù)》沒有作者，它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最先進的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系。,

7、《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數(shù)學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年(263年)，劉徽給《九章算術(shù)》作注，才大大彌補了這個缺陷。 《九章算術(shù)》是幾代人共同勞動的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學體系的形成．后世的數(shù)學家，大都是從《九章算術(shù)》開始學習和研究數(shù)學知識的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學書。,3.數(shù)學發(fā)展的特點,（1）數(shù)

8、學的研究對象從實際事物的性質(zhì)中抽象出來，把它理想化成純粹的研究對象——相對穩(wěn)定狀態(tài)下的數(shù)量和圖形。 （2）由具體的實驗階段過渡到抽象的理論階段，建立了更多的抽象的數(shù)字概念、符號和圖形，逐步脫離實際問題而成為獨立的學科。 （3）研究方法運用邏輯方法（主要為演繹法） （4）依據(jù)研究對象的不同，建立起了算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等分支，并有專門的符號體系、陳述方法和推理證明方法。,變量數(shù)學時期,1.數(shù)學的對象：變量2.主

9、要發(fā)明創(chuàng)造 法國笛卡爾——解析幾何 英國牛頓和德國的萊布尼茲——微積分 萊布尼茲最早引入微分符號dx和積分符號。 解析幾何和微積分是常量數(shù)學到變量數(shù)學的標志。 級數(shù)論、微分方程論、實變函數(shù)論、復變函數(shù)論等，微分幾何、數(shù)論、組合論、畫法幾何學,3.數(shù)學發(fā)展的特點,（1）研究對象從常量到變量，離散量到連續(xù)量，有限量到無限量，必然量到或然量。 （2）由幾何方法向解析方法轉(zhuǎn)變，數(shù)學思想、

10、觀點出現(xiàn)了許多混亂并導致劇烈爭論。 （3）建立解析幾何和微積分兩個新學科 （4）數(shù)學分析在數(shù)學發(fā)展中占主導地位 （5）數(shù)學與自然科學相互促進,近代數(shù)學時期,1.數(shù)學的對象 數(shù)學對象是定義在任意性質(zhì)的元素集上的運算和關(guān)系，它們由于遵循的公理系統(tǒng)不同而形成不同的數(shù)學結(jié)構(gòu)。2.主要發(fā)明創(chuàng)造 公理方法和公理化集合論得到很大發(fā)展 三大轉(zhuǎn)折：微積分發(fā)展為數(shù)學分析；解析幾何發(fā)展為高等幾何；方程

11、發(fā)展為高等代數(shù)。 三大突破：分析學產(chǎn)生了傅立葉級數(shù)，函數(shù)概念上產(chǎn)生重大突破；幾何學產(chǎn)生了非歐幾何，空間概念上有重大突破；代數(shù)上產(chǎn)生伽羅華理論，代數(shù)運算概念上有重大突破。 三大理論：實數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯 出現(xiàn)了許多數(shù)學新分支，如：非歐幾何、拓撲學、級數(shù)論、函數(shù)論、積分方程、泛函分析、積分幾何、代數(shù)幾何、邏輯代數(shù)、隨機微分方程等,3.數(shù)學發(fā)展的特點 （1）革命的數(shù)學思想、數(shù)學創(chuàng)造的自由化促使數(shù)學很

12、大發(fā)展； （2）數(shù)學研究對象更一般化、抽象化、多樣化 （3）數(shù)學的發(fā)展趨向于統(tǒng)分結(jié)合 （4）數(shù)學的應用越來越廣泛 （5）數(shù)學新問題層出不窮,現(xiàn)代數(shù)學時期,1.數(shù)學對象 現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及在這個基礎上發(fā)展起來的結(jié)構(gòu)和模型。2.主要發(fā)明創(chuàng)造 對策論、規(guī)劃論、排隊論、最優(yōu)化方法、運籌學、信息論、控制論、數(shù)理經(jīng)濟學、生物數(shù)學、數(shù)理心理學；計算數(shù)學、程序設計、程序語言、數(shù)理邏輯、

13、數(shù)理語言學、組合論、圖論、非標準分析、模糊數(shù)學、突變理論等3.數(shù)學發(fā)展的特點 （1）以集合論為基礎，數(shù)理邏輯成為數(shù)學推理的依據(jù) （2）數(shù)學抽象化的程度進一步加強 （3）應用數(shù)學蓬勃發(fā)展 （4）電子計算機的產(chǎn)生和應用 （5）基礎數(shù)學理論飛速發(fā)展,第二節(jié) 中國數(shù)學的起源與發(fā)展,中國數(shù)學的起源,二、《算經(jīng)十書》,中國漢唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的十部數(shù)學著作。唐代曾在國子監(jiān)中設立算學館，以李淳風等注釋

14、的十部算經(jīng)作為教本，用以進行數(shù)學教育和考試。這十部算經(jīng)是： 《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》 《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》 《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》 《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》 其中《綴術(shù)》在唐宋之交失傳后，便以南北朝時北周人甄鸞所著《數(shù)術(shù)記遺》來替補，甄鸞也是《五曹算經(jīng)》 《五經(jīng)算術(shù)》的作者,《周髀算經(jīng)》,《周髀算經(jīng)》是算經(jīng)的十書之一。

15、約成書于公元前1世紀，原名《周髀》，它是我國流傳至今的一部最早的數(shù)學著作，同時也是一部天文學著作 ，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法?！吨荀滤憬?jīng)》在數(shù)學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用以及怎樣引用到天文計算。,《孫子算經(jīng)》與“物不知數(shù)”問題,《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二。問物幾何?” 這相當于求解一次同余組 N ≡ 2（mod 3）

16、 N≡ 3（mod 5） N ≡ 2（mod 7） 當時雖已有了答案23，但它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章·大衍求一術(shù)》中給出的。大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題。,秦九韶和楊輝的數(shù)學成就,秦九韶的《數(shù)術(shù)九章》是一部劃時代的巨著，其中“大衍求一術(shù)”和高次方程解法，在數(shù)學史上占有崇高的地位。

17、楊輝對數(shù)學的貢獻主要在于引用和保持了大量古代珍貴的數(shù)學史料。對垛積術(shù)的研究有許多成果，改進計算技術(shù)，提出許多速算法，研究“縱橫圖”并有衍化發(fā)展。,《張丘建算經(jīng)》和“百雞問題”,今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何？ 答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞雛七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞雛八十一，值錢二十七。又答：雞翁十

18、二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞雛八十 四，值錢二十八。” 此題相當于解不定方程組,《九章算術(shù)》,1.《九章》標志著中國初等數(shù)學理論體系的形成2.《九章算術(shù)》的內(nèi)容 《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問題依照性質(zhì)和解法分

19、別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股,3.九章算術(shù)在中國數(shù)學史上的地位 《九章算術(shù)》是幾代人共同勞動的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學體系的形成 ；它總結(jié)了2000年前中國數(shù)學的偉大成就，是一部珍貴的歷史文獻。 4.《九章算術(shù)》的特色 （1）社會性和實用性 （2）以算法為中心的形數(shù)結(jié)合的算法體系 （3）構(gòu)造性,第三節(jié) 數(shù)學發(fā)展的動力,一、外部動力：

20、社會實踐及社會生產(chǎn)的發(fā)展 二、內(nèi)部動力：數(shù)學內(nèi)部的矛盾 斗爭,社會實踐及社會生產(chǎn)的發(fā)展,例如：以天文學需要為指南，建立了球面幾何及三角學原理； 數(shù)和形的初始概念產(chǎn)生于社會實踐； 17世紀歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進了力學和技術(shù)的發(fā)展，從而向數(shù)學提出了從一般的形態(tài)上研究運動的問題。出于研究運動，變量的觀念產(chǎn)生了，同時也產(chǎn)生了函數(shù)的概念； 微積分的產(chǎn)生； 連續(xù)介質(zhì)力學、場論引導了偏微分方程的發(fā)展；

21、 經(jīng)濟與軍事競爭的需要發(fā)展了對策論； 在工程技術(shù)、國防科學、社會科學及工商業(yè)貿(mào)易中提出了大量的最優(yōu)化問題；,數(shù)學內(nèi)部的矛盾,負數(shù)、無理數(shù)、虛數(shù)的出現(xiàn) 在19世紀發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、開方求出根來；古希臘幾何三大問題不能通過圓規(guī)和直尺作圖來解決等等。 這些發(fā)現(xiàn)導致代數(shù)學從此以后向抽象代數(shù)的方面發(fā)展，而求解方程的根也變成了分析及計算數(shù)學的課題。

22、 三次數(shù)學危機（無理數(shù)、無窮小是不是0、理發(fā)師悖論）,第二章 數(shù)學概觀 第一節(jié) 數(shù)學的對象和特征,一、什么是數(shù)學,恩格斯：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學。 隨著時間的推移，數(shù)學大大發(fā)展了，諸如事物的結(jié)構(gòu)、數(shù)理邏輯等，都成為數(shù)學的研究對象；這些，似乎不能包含在上述定義中。人們在尋找數(shù)學的新“定義”。,1．古今數(shù)學家的說法 古希臘：數(shù)學是研究數(shù)量的科學

23、 畢達哥拉斯：萬物皆數(shù) 亞里士多德：把研究數(shù)及其屬性的學科叫做算術(shù)，把研究量及其屬性的學科叫做幾何學，因而把研究數(shù)量的科學稱為數(shù)學。笛卡爾：數(shù)學是研究順序和度量的科學恩格斯：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學,布爾巴基學派認為：“數(shù)學是研究抽象結(jié)構(gòu)的學科。”并認為最普遍、最基本的結(jié)構(gòu)有三類，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)和順序結(jié)構(gòu)。 亞歷山大洛夫在《數(shù)學——它的內(nèi)容、方法和意義》一書中指出

24、：“數(shù)學以純粹形態(tài)的關(guān)系和形式作為自己的對象”,總結(jié)：對數(shù)學本質(zhì)特征的認識是隨數(shù)學的發(fā)展而發(fā)展的。 19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經(jīng)驗科學，因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切。 隨著數(shù)學研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發(fā)展，他們認為數(shù)學是研究結(jié)構(gòu)的科學，一切數(shù)學都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)這

25、三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點相對應，許多人認為數(shù)學是研究模式的學問，數(shù)學家懷特海在《數(shù)學與善》中說，“數(shù)學的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數(shù)學對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強有力的技術(shù)?！?1931年，歌德爾不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學是經(jīng)驗科學的觀點，著名數(shù)學家馮·諾伊曼就認為，數(shù)學兼有演繹科學和經(jīng)驗科學兩種特性。

26、,二、數(shù)學的特點 1、理論的抽象性 2、 邏輯的嚴謹性 3、 應用的廣泛性 4、 科學的預見性,第三節(jié) 辨證唯物主義數(shù)學觀一、數(shù)學對實踐的依賴關(guān)系,1.兩種對立的數(shù)學觀： 唯心主義數(shù)學觀認為和辯證唯物主義數(shù)學觀。 唯心主義數(shù)學觀認為：數(shù)學是純思維的產(chǎn)物， 唯心主義數(shù)學觀認為，與客觀世界無關(guān)

27、，可不必借助于外界經(jīng)驗，而由人的頭腦自行構(gòu)造出來 。 唯心主義數(shù)學觀的人物代表：古希臘數(shù)學家柏拉圖、 17世紀英國哲學家貝克萊、18 世紀德國哲學家康德。康德認為： 嚴格的數(shù)學命題永遠是先天的判斷， 而非經(jīng)驗的判斷，因為它們具有不能來自經(jīng)驗的必然性” 。現(xiàn)代西方三大數(shù)學哲學學派 ：邏輯學派 、直覺學派、形式學派 。,辯證唯物主義數(shù)學觀主要包含如下觀點： （1）反映論。數(shù)學起源于人類實踐經(jīng)驗，

28、是現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系在人的頭腦中的反映。 （2）以現(xiàn)實材料為出發(fā)點。數(shù)學的起源是非?，F(xiàn)實的材料。數(shù)學是由現(xiàn)實世界發(fā)展而來的結(jié)構(gòu)和模型。 （3）數(shù)學發(fā)展的相對獨立性。數(shù)學雖起源于實踐，但決不意味著每個數(shù)學概念或定理都有實踐的原型，數(shù)學自身的矛盾也能推動數(shù)學相對獨立地向前發(fā)展。,,（4）數(shù)學對客觀世界的反映是能動的。數(shù)學以抽象形式反映客觀世界，它舍棄了物質(zhì)運動形態(tài)中有關(guān)質(zhì)的特性。所反映的僅僅是量的形式和關(guān)系。

29、這種反映包含了人類思維中對運動形式的加工作用。例如：抽象、概括、模式化等等。而且，數(shù)學又能通過人類活動對客觀事物產(chǎn)生作用， 從而推動人類科學技術(shù)的前進 （5）客觀世界是一個運動、變化、發(fā)展著的對立統(tǒng)一體，作為反映客觀世界數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律性的數(shù)學必然充滿著辯證法。數(shù)學理論的創(chuàng)立要靠數(shù)學家的抽象思維，但不是人腦的“自由創(chuàng)造物和想象物”。數(shù)學具有真理性，但不是絕對真理。,2.數(shù)學以抽象形式反映客觀世界,一些新的數(shù)學概念未必能直接找到

30、其現(xiàn)實原型，但經(jīng)過一段時間的歷史考驗，終究在現(xiàn)實生活或科學技術(shù)中找到直接或間接的應用 （1）數(shù)的概念來源于計數(shù)； （2）自然數(shù)四則運算，來源于具體事物的合并、分解、增加、減少、倍大、縮小、包含等分等實際數(shù)量關(guān)系； （3）有理數(shù) （4）形的概念也離不開客觀世界提供的材料。,3. 數(shù)學自身矛盾推動數(shù)學獨立向前發(fā)展,在數(shù)學中，一些新的概念的形成，有時可能暫時找不到哦其現(xiàn)實

31、原型，但這并不妨礙相關(guān)的數(shù)學概念體系能在沒有實踐推動的情況下而獨立發(fā)展。我們把這種獨立發(fā)展的功能稱為數(shù)學中的自由創(chuàng)造 。如：由二維空間、三維空間發(fā)展為n維空間，甚至無窮維空間、函數(shù)空間等等。 復數(shù)概念的產(chǎn)生,二、數(shù)學內(nèi)容的辨證性質(zhì),數(shù)學的內(nèi)容中充滿了相互聯(lián)系、運動變化、對立統(tǒng)一、量變到質(zhì)變的辯證法的基本規(guī)律。例如，正數(shù)和負數(shù)、常量與變量、必然與隨機、近似與精確、收斂與發(fā)散、有限與無限等等，它們都互為存在的前提，失去一

32、方，另一方將不復存在，而且在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學方法也體現(xiàn)了辯證性。例如，數(shù)學中的極限方法就是為了研究和解決數(shù)學中“直與曲”、“ 有限與無限”、“ 均勻與非均勻”等矛盾問題而產(chǎn)生的，這就決定了極限方法的辯證性。數(shù)學發(fā)展過程也充滿了辯證性。,三、互逆運算及其相互轉(zhuǎn)化,1.正逆運算及其相互轉(zhuǎn)化,四、數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系,數(shù)學的認識過程是：在解決現(xiàn)實問題的實踐基礎上獲得數(shù)學的經(jīng)驗知識；然后上升為演繹性的理論知識（公理系統(tǒng)和形

33、式系統(tǒng)）；再返回到實踐中，通過解決現(xiàn)實問題而證實自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學知識。這是辯證唯物論的認識論在數(shù)學認識論上的具體表現(xiàn)，反映了數(shù)學本質(zhì)上是數(shù)學知識的經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統(tǒng)一。,五、內(nèi)容與形式,形式與內(nèi)容相互影響數(shù)學為科學提供形式化的語言利用形式符號更好地反映內(nèi)容形式與內(nèi)容相輔相成,第四節(jié) 數(shù)學基礎論及其簡要評介一、數(shù)學基礎及其研究,數(shù)學基礎論是研究數(shù)學的對象、性質(zhì)和方法等一般性問題的學科數(shù)學基礎論主

34、要包括3類問題 1.數(shù)學的邏輯問題 2.數(shù)學方法論問題 3.數(shù)學的哲學問題,二、悖論及其成因,通俗地說，悖論即謬說 悖論是一種導致邏輯矛盾的命題。一般地說，悖論即矛盾 如果某一理論的公理體系和推理原則看上去是合理的，但根據(jù)此公理體系和推理原則卻推出兩個互相矛盾的命題，或者證明了一個復合命題，它表現(xiàn)為兩個互相矛盾命題的等價式，那么我們就說此理論包含了一個悖論。悖論泛指兩類命題

35、 （1）推理過程看似合理，而推理結(jié)果卻不符合客觀實際； （2）由于新概念引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，而引起的矛盾。,三、數(shù)學發(fā)展中幾次有影響的悖論,芝諾所提出的阿奇利追龜說希帕索斯（Hippasus）悖論貝克萊（Berkely）悖論康托悖論羅素悖論,,第一次數(shù)學危機：無理數(shù)的表示問題；有限與無限的矛盾問題。 與之相關(guān)的悖論：芝諾所提出的阿奇利追龜說；希帕索斯（Hippasus）悖論 第二次數(shù)

36、學危機：貝克萊悖論第三次數(shù)學危機：康托悖論和羅素悖論,四、數(shù)學基礎論的幾個學派（代表人物）,邏輯主義學派直覺主義學派形式主義學派,邏輯主義學派,數(shù)學概念可以從邏輯命題出發(fā)，經(jīng)由明確的定義而給出；數(shù)學的定理可由邏輯概念出發(fā)，經(jīng)由純粹的邏輯演繹推理而給出。換言之，他們企圖用邏輯，推導出全部數(shù)學。這個推導過程可歸結(jié)為兩步：第一步是數(shù)學理論算術(shù)化；第二步是算術(shù)理論邏輯化。代表人物：英國著名的數(shù)學家、哲學家和邏輯學家羅素,直覺主義學派,

37、否認邏輯先于數(shù)學，對傳統(tǒng)數(shù)學知識持批判態(tài)度；數(shù)學起源于直覺；數(shù)學必須能構(gòu)造邏輯法則無窮觀代表人物：荷蘭數(shù)學家布勞威爾,形式主義學派,反對直覺主義的無限觀；希爾伯特改造數(shù)學計劃提出排除悖論的方法代表人物：希爾伯特,第三章 第一節(jié)      觀察與實驗 觀察和實驗是通過收集科學事實材料，獲得感性認識的基本途徑，是形成、發(fā)展和檢驗自然科學理論的實踐基礎。

38、 獲得檢驗材料的基本途徑是對研究對象的關(guān)系、性質(zhì)等的觀察和實驗。一、觀察和實驗 觀察和實驗，是發(fā)現(xiàn)與解決問題中的最形象、最具體的手段之一。有人認為數(shù)學是高度抽象和邏輯性極強的學科，不需形象和具體的思考和操作。其實是不正確的。事實上越是抽象和復雜就越需要形象和具體的輔助與配合。,,,,1．觀察的涵義 前蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅相認為：觀察是人們對客觀世界的各個客觀事物和現(xiàn)

39、象，在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法。 從數(shù)學的角度說，觀察就是人們對事物或問題的數(shù)學特征通過視覺獲取信息，運用思維辨認其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)的方法。 歐拉說過：“在被稱為純粹數(shù)學的那部分數(shù)學中，觀察無疑占有極其重要的地位”。,愛因斯坦論述觀察在科學中的作用時指出：“理論所以能夠成立，其根據(jù)就在于同大量的單個觀察關(guān)聯(lián)著，而理論的真理

40、性也在于此．”在數(shù)學中，常常通過觀察來收集資料，發(fā)現(xiàn)新事實．因此，觀察的作用主要歸結(jié)為以下兩個方面： 　　 (1)命題的發(fā)現(xiàn)． 　　 數(shù)學真命題如定理、公式等，都是數(shù)學對象屬性間關(guān)系的反映，認識這些關(guān)系，很多也都是從對數(shù)學對象的直接觀察得來的．因此，認識數(shù)學真命題離不開觀察．觀察是數(shù)學科學研究的“敲門磚”　　 (2)解題方法的探求． 　　 直覺是認識的特殊形式，它可直接了解真理．通過觀察有時能直接捕捉

41、解題方法．觀察多從問題條件的特點入手、從觀察己知和結(jié)論的關(guān)系（聯(lián)系與差異）入手、從觀察分析條件的隱含關(guān)系入手。在數(shù)學教學中，教師要特別注意培養(yǎng)學生的觀察能力，它是培養(yǎng)學生綜合數(shù)學能力的前提，要特別注意那些連問題還沒有看明白就貿(mào)然動手解題的學生，讓他們一定養(yǎng)成認真觀察題目的條件和結(jié)論的習慣，并通過具體的例題使他們體會到仔細觀察、認真審題的效果?！　?(3)觀察法在數(shù)學概念教學中的作用． 　　 數(shù)學概念是高度概括、高度抽

42、象的產(chǎn)物，只有密切聯(lián)系現(xiàn)實原型，才能使學生較容易的理解、掌握數(shù)學概念。,3．觀察的作用．,1.實驗的涵義,實驗是按照科學研究目的，根據(jù)研究對象的自然狀態(tài)和自身發(fā)展規(guī)律，人為的設置條件，來引起或控制事物的發(fā)生或發(fā)展過程，并通過感官來認識對象和規(guī)律的方法。 任何實驗都離不開觀察．如果把觀察看成是在自然條件下認識對象的活動，那么實驗則可看作是在人為控制的有利條件下，實現(xiàn)對對象或?qū)ο蟊举|(zhì)屬性再現(xiàn)的觀察．因此，實驗比自然觀察具

43、有如下的優(yōu)點：,2．實驗的作用,(1)實驗可以用來說明(或驗證)數(shù)學對象的本身和屬性． 　在數(shù)學發(fā)展過程中，有很多數(shù)學對象和性質(zhì)是從實驗得來的，例如在幾何中，對各種圖形的面積、體積的計算，常用割拼法來變換圖形使之成為易于測量和計算其面積、體積的等積的圖形．又如，關(guān)于線段、角、三角形的相等關(guān)系是測量法和疊合法驗證的．再如，三角形的重心、拋物線的焦點，其數(shù)學性質(zhì)都是通過物理實驗而作出的．圓錐曲線的光學性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行

44、四邊形性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，都可以不同程度地運用實驗的方法發(fā)現(xiàn)其結(jié)論。 　　(2)實驗可以用來發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，提出猜想． (3)實驗可以用來探求解題思路，選擇 最佳解題方法．,第二節(jié) 分析法與綜合法,分析法是從所需證的結(jié)論出發(fā)，以一系列已知定義、定理為依據(jù)逐步逆推，從而達到已知條件．分析法也叫執(zhí)果索因法，它是一種推理的方法，人們常用它來尋找解題思路。分析法分為兩種：逆求法和逆推法。當推理過程步步均可逆時，它

45、又是一種證明方法．又稱逆推法．其思維過程可表示為： B A1 A2 … A.其中B是命題的結(jié)論，A是條件。如果沒一步分析是從結(jié)論出發(fā)尋求其成立的充分條件，則稱這種方法為逆求法，其思維過程可表示為B A1 A2 … A,綜合法是從題設條件出發(fā)，以一系列已知定義、定

46、理為依據(jù)，逐步推演從而導致所證明的結(jié)論．綜合法又叫由因?qū)ЧǎC合法是一種側(cè)重于整理性的思維，是數(shù)學中表達求解、論證過程的基本方法。,證法一（分析法） 欲證a3+b3>a2b+ab2 ，只需證 a3+b3-（a2b+ab2）>0 即(a+b)(a2 -ab+b2 )- ab(a+b) >0 (a+b)(a2

47、-2ab+b2) >0 由a,b是不等的正數(shù)得，a2 -2ab+b2)>0 a+b >0，故a3+b3>a2b+ab2 證法二（綜合法） 由于a,b不等，所以(a-b)2 >0 又a>0，b>0，所以a+b>0 a3+b3-（a2b+ab2）= (a+b)(a

48、2 -2ab+b2)>0,第三節(jié) 劃分與比較,劃分的標準、意義及規(guī)則比較,,,劃分是指按照事物間的異同，將相同性質(zhì)的對象歸為一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方式。 劃分的意義在于使知識條理化，并進而系統(tǒng)化，促使認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。 數(shù)學上的劃分包括對概念的劃分、對性質(zhì)的劃分、方法的整理以及解題中的分域討論等。,1.2概念的內(nèi)涵和外延 概念的內(nèi)涵亦稱內(nèi)包，指概念所反

49、映的對象的特有屬性、本質(zhì)屬性。 概念的外延亦稱外包，指概念所反映的對象的總和。 例：“偶數(shù)”的內(nèi)涵是指“能被2整除”這個性質(zhì)，外延是指所有偶數(shù)的全體。 “平行四邊形” 的內(nèi)涵包括：是四邊形，對邊平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分等等?！捌叫兴倪呅巍?#160;的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各種各樣的任意的平行四邊形。 注：（1）數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學科學體系中來認識的。

50、（2）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的,,,1.3概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）1、相容關(guān)系（1）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系） 外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。 例如：數(shù)0是擴大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù) 與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個相等數(shù) 的差等；“等邊的矩形”和“直角的菱形” 等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線 的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。 注：研究概念間

51、的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對 象得到較深刻、較全面的認識。另外，在推理證明中 具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡明。,,,,（2）從屬關(guān)系 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下圖所示，那么，這兩個概念具有從屬關(guān)系。其中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。,注：內(nèi)涵和外延的反比關(guān)系正方形內(nèi)涵 矩形內(nèi)涵 平行四邊形內(nèi)涵 四邊形內(nèi)涵正方形

52、外延 矩形外延 平行四邊形外延四邊形外延,,,（3）交叉關(guān)系 如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系，可設兩個概念的外延分別是集合 和集合 ，如果 是非空集合而且不是 ，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系。,,,例：（1）負數(shù)和整數(shù)（2）等腰三角形和直角三角形,2、不相容關(guān)系（全異關(guān)系）

53、 如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有全異關(guān)系，這種關(guān)系又叫做“拳異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。 全異關(guān)系又分為反對關(guān)系和矛盾關(guān)系。,,,1.4 概念的定義和原始概念 把概念的內(nèi)涵或外延用語言表達出來，就是給概念下定義。原始概念 點、線、面、空間、集合、元素、對應等。數(shù)學中常用的幾種定義方式（1）屬概念加種差的定義方式 “種差”就是被定義概念在它的最鄰近的屬概念里區(qū)

54、別于其它種概念的那些本質(zhì)屬性。 四邊形+兩組對邊分別平行=平行四邊形 四邊形+四邊相等=菱形 三角形+兩邊相等=等腰三角形 平行四邊形+一個直角=矩形（2）發(fā)生定義方式(也稱構(gòu)造性定義法): 在平面上，射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角。,,,,（3）關(guān)系性定義 如：能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)（4）揭示外延的定義方式 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。（5

55、）約定式定義 我們規(guī)定 a-m= (a≠0),,,1.5下定義的基本要求 （1）定義應當相稱。所謂定義相稱就是下定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等。 A、無理數(shù)是無限小數(shù)。 × B、各角為直角的菱形是矩形。× （2）定義不能惡性循環(huán)。下定義概念不能直接或間接地依賴于被定義概念 例如：不

56、能用兩條直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。 （3）定義一般不用否定形式 不是有理數(shù)的數(shù)是無理數(shù)。 × （4）定義必須清楚確切。在定義中不能應用比喻或含混不清的概念,不應列舉非本質(zhì)屬性,不應含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。 例如,“無窮小是很小很小的數(shù)”, 從外表看,頗似定義,但它用了比喻詞。又如,“正方形是一種有規(guī)則的四邊形”,“有規(guī)則”是一個不可捉摸的含混概念,這

57、樣定義不能揭示出“正方形”的內(nèi)涵。,,,1.6 概念的劃分和分類 劃分是揭示概念外延的邏輯方法。也就是通過把一個屬概念分為若干個種概念來明確概念的邏輯方法。  任何劃分都包含劃分的母項、劃分的子項和劃分的標準三個要素。劃分的母項就是被劃分的概念，劃分的子項就是從母項劃分出來的各個種概念，劃分的標準就是據(jù)以劃分的標準。例如：例如:根據(jù)邊的相等關(guān)系三角形劃分為不等邊、等邊和等腰的三角形。根據(jù)角的關(guān)系三角

58、形劃分為銳角、直角和鈍角三角形。,（1）劃分的幾種形式：一次劃分、連續(xù)劃 分、復分和二分法 ①一次劃分：根據(jù)一個標準把一個概念劃 分一次。 根據(jù)奇偶性,整數(shù)劃分為奇數(shù)和偶數(shù)。 ②連續(xù)劃分：把一次劃分得出的子項作為母項,繼續(xù)劃分子項,直到滿足需要為止。 有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)。其中整數(shù)又分為正整數(shù)、零和負整數(shù)；分數(shù)又分為正分數(shù)和負分數(shù)。 ③復分：根據(jù)不同標準對同一概念進行多種劃分。

59、 ④二分法:它是每次劃分后所得的子項總是兩個相互矛盾概念的劃分法。以對象是否具有某種屬性來劃分。,比較是確定有關(guān)事物的共同點和不同點的思維方式。包括量的比較、形式的比較、性質(zhì)的比較等。比較是概括的基礎，通過抽象得出的屬性是在比較之后才能認識其共性與個性的。 概念的發(fā)現(xiàn)、概念的教學、證明命題、命題的發(fā)現(xiàn)等過程中都滲透比較方法的運用。,第四節(jié) 抽象與概括,一、抽象方法 抽象是把研究的事物從某種角度

60、看待的本質(zhì)屬性抽取出來舍去其非本質(zhì)屬性進行考察的思維方法。在數(shù)學中，抽象是指從研究對象或問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其它屬性對其進行考察的方法。數(shù)學中的概念、關(guān)系、定理、方法、符號等都是數(shù)學抽象或再抽象的思維結(jié)果。抽象思維是數(shù)學學習的基礎之一。,2.數(shù)學抽象的基本形式,（1）理想化抽象 所謂理想化是指通過抽象得到的數(shù)學概念和性質(zhì)，并非客觀事物本身存在的東西，而是從實際事物中分離出來的經(jīng)過思維加工

61、得來的，甚至是假想出來的概念和性質(zhì) 。 如，在幾何中的“點”、“直線”、“平面”等抽象概念，在自然界也是不存在的，都是經(jīng)過人們的智慧加工得來的理想化概念．幾何中的“點”是從自然界中物體的大小無限地減少可能得到的結(jié)果，或者在物體的大小比較中，大大可以忽略不計的物體中抽象得來的，而且把它理想化為無長、無寬、無高的“點”．同樣，“直線”被理想化為沒有厚度和寬度的線、“平面被理想化為沒有厚度的面等。

62、在數(shù)學中，往往在原有的對象中引入理想化元素，創(chuàng)造出新的數(shù)學理論．例如無限遠點(理想化元素) 和虛根的引入。 上述事例說明，理想化抽象的方法在數(shù)學的發(fā)展和發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的作用．”,(2)等價抽象,在數(shù)學研究中，把同類對象的共同性質(zhì)抽取出來而舍棄對象的其它性質(zhì)，這種抽象方法稱為等價抽象． 例如，對于兩個集合來說，如果能夠在它們的元素之間建立起一一對應關(guān)系，則稱它們?yōu)閷Φ鹊募希匀粩?shù)是等價抽象的結(jié)果

63、 又如，兩個三角形，它們的對應角相等，對應邊成比例，具有這樣的性質(zhì)的三角形，它們都具有相同的形狀．把三角形這種相同的性質(zhì)和形狀的特點抽象出來就得到相似三角形的概念．這也是等價抽象． 再如，在自然數(shù)中有的數(shù)被一個自然數(shù)除，都得到相同的余數(shù)(如2，7，12，17，……被5除都得到余數(shù)2)，從這類自然數(shù)的共同特征抽象得到同余數(shù)的概念，也是等價抽象．,等價關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：自反性、對稱性、傳遞性。

64、 設有一集合E，如果給定了笛卡爾乘積E×E的一個子集合R，我們就說在E上定義了一個二元關(guān)系R.即一個二元關(guān)系，就是一個有序偶對的集合。 如果用a,b,c, …表示所考察的一類對象，那么 自反性：如果對于所有的a，都有（a,a）∈R，例如數(shù)的相等，自然數(shù)的整除等 對稱性：如果（a,b）∈R，則（b,a）∈R，如數(shù)的不等、直線的平行、垂直、相似等 傳遞

65、性：如果（a,b）∈R，（b,c）∈R，則（a,c）∈R.如數(shù)的大小、直線的平行、整除、相似等,（3）強抽象與弱抽象,強抽象是指在已知概念中，加強對某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴大原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。 例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當限制，則得平行四邊形和梯形的概念。 若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。

66、 由對數(shù)的概念出發(fā)，對底數(shù)給予適當?shù)南拗疲色@得以10為底的常用對數(shù)和以e為底的自然對數(shù)等,弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。 例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。 又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬

67、對“銳角”的限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的三角函數(shù)保留了“比”的屬性,（4）存在性抽象（可能性抽象）,先用假設的方法肯定抽象出來的數(shù)學概念的存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學理論，然后在理論和實踐中加以驗證，從而確認新的數(shù)學理論的合理性。 例如：自然數(shù)列就是存在性一個例子．要把自然數(shù)列無限延伸，必須把人類生命的有限性以及認識客觀事物在時間上的局限性舍去，才有可能實現(xiàn)無限地延伸自然數(shù)列的設想．從實踐的觀點

68、來看，能夠?qū)崿F(xiàn)的過程必須是有限個步驟．因此，任何人都不可能把自然數(shù)列延伸到無限的境地．但是，人們認識到，如果能夠把自然數(shù)列延伸到任何一個自然數(shù)n，那么必能寫出n后面的一個自然數(shù)n+1．由此，認為把自然數(shù)列無限延伸潛在著實現(xiàn)的可能性，簡稱可能性． 從圓內(nèi)接正六邊形算起，把邊數(shù)連續(xù)倍增來計算圓周長等等，都是以前一步計算結(jié)果為根據(jù)，就能夠算出后一步的結(jié)果，這就認為可能無限地計算下去．由此，得到圓周率的概念，這些都是運用了可能