高中數(shù)學(xué)第四章定積分41定積分的概念分析“求汽車(chē)行駛的路程”感悟定積分概念的形成素材北師大版2-2!

1、14.14.1分析分析“求汽車(chē)行駛的路程求汽車(chē)行駛的路程”感悟定積分概念的形成感悟定積分概念的形成定積分概念的理解對(duì)大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)是比較抽象的.概念的形成不是以一段文字可以概括和說(shuō)明的.而是要通過(guò)一種數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)體現(xiàn)定積分的內(nèi)涵與意義.所以對(duì)這種運(yùn)算如果不能有一種清晰的認(rèn)識(shí)就很難真正把握定積分的定義.下面我們就把這一運(yùn)算過(guò)程通過(guò)“求汽車(chē)行駛的路程”詳細(xì)地分解開(kāi)以助于同學(xué)們深刻理解其本質(zhì).一.提出問(wèn)題提出問(wèn)題汽車(chē)以速度v組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)

2、過(guò)時(shí)間t所行駛的路程為Svt?如果汽車(chē)作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為??22vtt???（單位：kmh），那么它在0≤t≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程S（單位：km）是多少？分析：分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題把區(qū)間??01分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于??vt的變化很小，可以近似的看作汽車(chē)作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車(chē)在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的

3、近似值，在求和得S（單位：km）的近似值，最后讓n趨緊于無(wú)窮大就得到S（單位：km）的精確值（思想：思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）解：1分割分割在時(shí)間區(qū)間??01上等間隔地插入1n?個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間??01等分成n個(gè)小區(qū)間：10n??????，12nn??????，…，11nn???????記第i個(gè)區(qū)間為1(12)iiinnn?????????，其長(zhǎng)度為:11iitnnn?????.

4、把汽車(chē)在時(shí)間段10n??????，12nn??????，…，11nn???????上行駛的路程分別記作：1S?，2S?，…，nS?顯然，1niiSS????3思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車(chē)行駛的路程S與由直線010ttv???和曲線22vt???所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過(guò)程可知，汽車(chē)行駛的路程limnnSS???在數(shù)據(jù)上等于由直線10??tt0?v和曲線22vt???所圍成的曲邊梯形的面積一般地，

5、如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為??vvt?，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移S二實(shí)例展示二實(shí)例展示例例彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力??Fxkx?（k為常數(shù)，x是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所作的功分析：分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解：解：將物體用常力F沿力的方向移動(dòng)距離x，則所

6、作的功為WFx??1分割分割在區(qū)間??0b上等間隔地插入1n?個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間??01等分成n個(gè)小區(qū)間：0bn??????，2bbnn??????，…，??1nbbn???????記第i個(gè)區(qū)間為??1(12)ibibinnn??????????，其長(zhǎng)度為:??1ibibbxnnn??????.把在分段0bn??????，2bbnn??????，…，??1nbbn???????上所作的功分別記作：1W?，2W?，…，nW?（2）近似代替近似代