數(shù)學(xué)史第八節(jié)課

1、1,中外數(shù)學(xué)發(fā)展史,上海市市東中學(xué) 楊鋒,第八講 中國(guó)數(shù)學(xué),--之“中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展”,2,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源,中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,數(shù)概念的產(chǎn)生是人類認(rèn)識(shí)史上的一次飛躍，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)的起源．從出土文物可以看到，在中國(guó)，發(fā)生這種飛躍的時(shí)間不晚于7000年前．例如，這一時(shí)期河姆渡(今浙江余姚境內(nèi))遺址中的骨耜都有兩個(gè)孔，許多陶器有三足，一些陶缽底上刻著四葉紋，這是形成“二、三、四”等數(shù)的概念的依據(jù)．,3,約6000年前的

2、西安半坡遺址中，有的陶器上有整齊排列的點(diǎn)子，數(shù)目由一到九(圖4．1)，這說明人們已認(rèn)識(shí)了“九”．,4,簡(jiǎn)單幾何圖形的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)起源的另一標(biāo)志．半坡出土的陶器上，有圓、三角形、長(zhǎng)方形、菱形等各種幾何圖形．圓柱形陶紡輪的燒制，表明人們有了圓柱的觀念；而造型精致的空心陶球，則說明人們已掌握一些關(guān)于球的知識(shí)．這些都是萌芽狀態(tài)中的幾何．我們從某些陶器的圖案中，可以推測(cè)菱形產(chǎn)生的有趣過程，它體現(xiàn)了由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律(圖4．2)．,5,數(shù)概念產(chǎn)

3、生之后，原始記數(shù)法便隨之出現(xiàn)了．《易經(jīng)》上說：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契．”三國(guó)時(shí)吳人虞翮在《易九家義》中也說：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩，結(jié)之多少，隨物眾寡．”這些記載表明，結(jié)繩記數(shù)是原始社會(huì)普遍使用的一種記數(shù)方法．刻劃記數(shù)是比結(jié)繩記數(shù)進(jìn)步的一種記數(shù)法，也產(chǎn)生于原始社會(huì)．人們?cè)谥瘛⒛净蚬瞧厦婵坛鲆粋€(gè)個(gè)小口，表示一定的數(shù)目，這大概就是《易經(jīng)》所說的契．例如1975年在青海樂都出土的原始社會(huì)末期遺物中，有40件帶有三角形小

4、口的骨片(圖4．3)，這些小口便是用來記數(shù)的．,6,中國(guó)最早的數(shù)字出現(xiàn)于原始陶器，可稱之為陶文．例如，半坡出土的陶器上就有如下數(shù)字符號(hào)：,7,陜西姜寨出土的陶器(約6000年前)上也有類似的數(shù)字：很明顯，這些數(shù)字都屬十進(jìn)制系統(tǒng)．,8,二、商周數(shù)學(xué),大約4000年前夏朝的建立，標(biāo)志著中國(guó)進(jìn)入了奴隸社會(huì)．隨著社會(huì)的發(fā)展，商代出現(xiàn)了比較成熟的文字---甲骨文，西周則演變?yōu)榻鹞?，即刻在青銅器上的銘文．,9,商代甲骨文表明，當(dāng)時(shí)已有比較完整的數(shù)字

5、系統(tǒng)．從1到10的每個(gè)整數(shù)，以及100，1000，10000，都有相應(yīng)的符號(hào)表示：,1．甲骨文中的數(shù)字,10,十、百、千、萬的倍數(shù)多用合文，例如10的倍數(shù),11,在甲骨文中，最大的數(shù)是三萬，寫作 ．人們能表示三萬以內(nèi)的任何自然數(shù)(也許更多)，例如156寫作 ．甲骨文中的數(shù)字，大部分聯(lián)系著實(shí)物，如五十犬，三十羊．也有一些甲骨上的數(shù)字是獨(dú)立出現(xiàn)的，人們?cè)谝黄敿咨习l(fā)現(xiàn)了10以內(nèi)的全部自然數(shù)，沒有和實(shí)物連在一起，說明商代

6、已經(jīng)有了抽象的自然數(shù)概念．,12,2．記數(shù)和運(yùn)算,商代數(shù)學(xué)中，十進(jìn)制已相當(dāng)完善了，這是中國(guó)人民的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上有重要意義．著名的英國(guó)科學(xué)史家李約瑟(J．Needham，1900---1995)說：“如果沒有這種十進(jìn)制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了．”,13,對(duì)甲骨文的研究表明，商朝人已經(jīng)會(huì)做自然數(shù)的加、減法和簡(jiǎn)單乘法了，遺憾的是不知道他們的具體算法，因?yàn)榧坠俏挠涗浀闹皇沁\(yùn)算結(jié)果，而沒有運(yùn)算過程．,14,周代記

7、數(shù)法與商代相比，有個(gè)明顯的進(jìn)步，就是出現(xiàn)了位值記數(shù)．如20世紀(jì)70年代出土的一個(gè)中山國(guó)銅燈銘文中，355記作 ，末位的五表示個(gè)位五，而前一個(gè)五表示五十，兩個(gè)五間沒有用十隔開．這說明當(dāng)時(shí)已有了位值的觀念，只是應(yīng)用不多，還未形成系統(tǒng)的制度．,15,3．干支紀(jì)年法,六十循環(huán)的“天干地支”記數(shù)法，是商代數(shù)學(xué)的又一個(gè)成就．這種方法主要用于歷法，可稱干支紀(jì)年法．天干有10個(gè)，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12

8、個(gè)，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干與地支相配，共得60個(gè)不同單位---以甲子開始，以癸亥告終．然后又是甲子，如此循環(huán)不斷．中國(guó)農(nóng)歷至今還使用這種方法．,16,三、春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的數(shù)學(xué),春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，中國(guó)正經(jīng)歷著由奴隸社會(huì)到封建社會(huì)的巨大變革，學(xué)術(shù)思想十分活躍．這一時(shí)期形成的諸子百家，對(duì)科學(xué)文化影響極大．?dāng)?shù)學(xué)園地更是生機(jī)盎然，朝氣勃勃．,17,值得注意的是，人們?cè)谏檀坠俏暮臀髦芙鹞牡幕A(chǔ)上，逐漸懂得把字寫在竹片(或

9、木片)上，用繩子穿成冊(cè)，這就是早期的書．寫上字的竹片稱為簡(jiǎn)，或竹簡(jiǎn)．春秋戰(zhàn)國(guó)的大批數(shù)學(xué)成果，便是通過竹簡(jiǎn)流傳下來的．,18,《墨經(jīng)》中討論的幾何概念可以看作數(shù)學(xué)理論研究在中國(guó)的最初嘗試．《墨經(jīng)》是以墨翟di(約公元前490---前405)為首的墨家學(xué)派的著作，包括光學(xué)、力學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)等各方面問題．它試圖把形式邏輯用于幾何研究，這是該書的顯著特色．在這一點(diǎn)上，它同歐幾里得《幾何原本》相似，一些幾何定義也與《原本》中的定義等價(jià)．下面略

10、舉幾例：,1．幾何與邏輯,19,(1)“平，同高也”---兩線間高相等，叫平．這實(shí)際是平行線的定義．(2)“同長(zhǎng)，以正相盡也”---如果兩條線段重合，就叫同長(zhǎng)．(3)“中，同長(zhǎng)也”---到線段兩端的距離相同的點(diǎn)叫中(點(diǎn))．(4)“圓，一中同長(zhǎng)也”---到一個(gè)中心距離相同的圖形叫圓．,20,《墨經(jīng)》中依次給出點(diǎn)、線、面等基本幾何圖形的定義，這些圖形的名稱分別為端、尺、區(qū)．在研究線的過程中，墨家明確給出“有窮”及“無窮”的定義：“或不

11、容尺，有窮；莫不容尺，無窮也．”即：用線段去量一個(gè)區(qū)域，若能達(dá)到距邊緣不足一線的程度，叫有窮；若永遠(yuǎn)達(dá)不到這種程度，叫無窮．,21,《墨經(jīng)》中還有一條重要記載：“小故，有之不必然，無之必不然．大故，有之必然．”用現(xiàn)代語言說，大故是“充分條件”而小故則是“必要條件．”大故和小故的區(qū)分，在哲學(xué)史和數(shù)學(xué)史上都是十分重要的事件．可惜的是，隨著墨家的衰落，墨家數(shù)學(xué)理論在形成體系之前便夭折了．,22,2．算術(shù),到公元前四、五世紀(jì)時(shí)，分?jǐn)?shù)已在中國(guó)廣

12、泛應(yīng)用了，有些分?jǐn)?shù)還有特殊的名稱，如 叫半， 叫少半， 叫大半。位值制和整數(shù)四則運(yùn)算已被熟練掌握，《考工記》中還有簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)運(yùn)算。,,,,23,春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，“九九歌”已是家喻戶曉的常識(shí)了．《管子》等書中便記載著九九歌訣，順序與今不同，是從“九九八十一”起，到“一一如一”止．至于改為“一一如一”到“九九八十一”的順序，則是宋元時(shí)代的事情了．,24,3．對(duì)數(shù)學(xué)中“無限”的認(rèn)識(shí),有限與無限的矛盾，是數(shù)學(xué)中的一對(duì)基本矛盾．對(duì)

13、這一問題認(rèn)識(shí)的不斷深化，推動(dòng)著古今數(shù)學(xué)的發(fā)展．,25,據(jù)戰(zhàn)國(guó)時(shí)成書的《莊子》記載，惠施曾提出“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”的觀點(diǎn)．其中“大一”、“小一”可理解為無窮大，無窮?。@段話的意思是：大到?jīng)]有外部，稱為無窮大；小到?jīng)]有內(nèi)部，稱為無窮小．,26,書中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的著名命題，可以看作是對(duì)“小一”的發(fā)揮．一尺長(zhǎng)的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不斷地取下去，永遠(yuǎn)也取不完。即第一天取

14、 ，第二天取 ，第n天取 ，不管n多大， 總不為0，其中體現(xiàn)了物質(zhì)無限可分的思想,,,,,27,同《莊子》一樣，《墨經(jīng)》中也討論了分割物體的問題．但墨家反對(duì)物質(zhì)的無限可分．他們認(rèn)為，如果把一條線段分成前后兩半(比如以左為前，以右為后)，保留前半而棄去后半(圖4．4中OB)，再棄去前半的后半(即CO)，如此不斷地分割和取舍，剩余部分小到不能再分為兩半，就是端(A點(diǎn))．,28,如果采用前后取的辦法，即第一次取

15、線段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半，……取到最后，也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)不可分割的端，這個(gè)端在線段中間而不在邊緣(位于CO之間)，這就是《墨經(jīng)》所云“前則中無為半，猶端也；前后取，則端中也”．很明顯，這種思想與近代極限理論是相符的．?dāng)?shù)學(xué)分析中用區(qū)間套來限定數(shù)軸上一個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的方法與此類似．所以，我們可以把這種分割思想看作區(qū)間套原理的雛型，其中蘊(yùn)含著“點(diǎn)是線段無限分割之極限”的思想．,29,4．組合數(shù)學(xué)的萌芽,組合數(shù)學(xué)雖是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的

16、分支，它的思想?yún)s可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代．春秋時(shí)期成書的《易經(jīng)》便含有組合數(shù)學(xué)的萌芽．,30,《易經(jīng)》是中國(guó)最古老的書籍之一，書中通過陰陽卦爻預(yù)言吉兇．“--”是陰爻，“—”是陽爻，合稱“兩儀”．每次取兩個(gè)，按不同順序排列，生成“四象”；每次取三個(gè)，生成八卦(圖4．5)；每次取六個(gè)，則生成六十四卦．四象、八卦與六十四卦的排列，相當(dāng)于組合數(shù)學(xué)中的有重排列：從n種元素中每次取r個(gè)，共有 種排列法．例如，在兩種卦爻中每次取3個(gè)，共有

17、 ＝8種排列，這就是八卦．,,,31,德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G．W．Leibniz，1646---1716)發(fā)明二進(jìn)制后不久，見到了傳教士白晉(J．Bouvet，1656---1730)從中國(guó)寄去的八卦．萊布尼茨認(rèn)為，八卦中蘊(yùn)含著二進(jìn)制思想，因此驚嘆不已．實(shí)際上，若把“--”和“—”兩種卦爻用1和0代替，八卦就可表示為 000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兌) 100(艮) 101

18、(離) 110(巽) 111(乾),32,萊布尼茨說八卦是“流傳于宇宙的科學(xué)中最古老的紀(jì)念物”，這項(xiàng)發(fā)明“對(duì)于中國(guó)人民實(shí)在是值得慶幸的事情”，并因此產(chǎn)生對(duì)中國(guó)古代文明的崇敬，熱烈地希望到中國(guó)來．由于種種原因，他未能如愿，便托人把自己親手制造的手搖計(jì)算機(jī)送往中國(guó)，成為中、德關(guān)系史上的一段佳話．,33,5．早期的數(shù)學(xué)工具---算籌與規(guī)、矩,算籌即用于計(jì)算的小竹棍(也有木質(zhì)、骨質(zhì)或金屬材料的算籌)，它是中國(guó)人創(chuàng)造的計(jì)算工具．春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，算籌

19、的使用已相當(dāng)普遍，書中多有記載，如“孟子持籌而算之”(《十發(fā)》)，“善計(jì)者不用籌策”(《老子》)，等等．1954年在長(zhǎng)沙的一座戰(zhàn)國(guó)楚墓中挖出一個(gè)竹筒，內(nèi)裝竹棍40根，長(zhǎng)短一致，約12厘米，是為算籌之實(shí)物．,34,用籌進(jìn)行計(jì)算稱為籌算．據(jù)文獻(xiàn)記載，籌式有縱橫兩種：,(圖中第一行為縱式，第二行為橫式)算籌的擺法是縱橫相間，從右到左：個(gè)位為縱，十位為橫，百位為縱，千位為橫……，遇零則空位．例如2561擺成

20、 ，308擺成 ．,35,籌算加減法與今珠算類似，從左到右逐位相加或相減即可．籌算乘除法的步驟稍微復(fù)雜一些．二數(shù)相乘(如48×36)時(shí)，先用籌擺一數(shù)于上，一數(shù)于下，并使下數(shù)的末位和上數(shù)首位對(duì)齊(圖4．6(1))，按從左到右的順序用上數(shù)首位乘下數(shù)各位，把乘得的積擺在上下二數(shù)中間(圖4．6(2))，然后將上數(shù)的首位去掉、下數(shù)向右移動(dòng)一位(圖4·6(3))，再以上數(shù)第二位乘下數(shù)各位，加入

21、中間的乘積，并去掉上數(shù)第二位(圖4．6(4))．,36,直到上數(shù)各位用完，中間的數(shù)便是結(jié)果．籌算除法也分三層，上層是商；中層是被除數(shù)，叫實(shí)；下層是除數(shù)，叫法．,37,算籌在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有非常重要的地位，在長(zhǎng)達(dá)兩千年的時(shí)間里，算籌一直是中國(guó)的主要計(jì)算工具，直到元明時(shí)代才逐漸被珠算所代替．籌算的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便、靈活，用一些小竹木棍便可進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算．它的缺點(diǎn)是中間步驟不能保留，因此不便于檢驗(yàn)．另外，過分依賴于算具，也不利于數(shù)學(xué)的符號(hào)化和抽象

22、化．,38,規(guī)、矩是兩種測(cè)繪工具．規(guī)即圓規(guī)，矩是直角拐尺，用來畫直線形．商代甲骨文中已有規(guī)和矩的象形字，所以它們最遲在商代已經(jīng)出現(xiàn)．春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，這兩種工具被普遍用于測(cè)量和幾何作圖．,39,四、周髀bi算經(jīng),《周髀》是西漢初期的一部天文、數(shù)學(xué)著作．髀是量日影的標(biāo)桿(亦稱表)，因書中記載了不少周代的天文知識(shí)，故名《周髀》．唐初鳳選定數(shù)學(xué)課本時(shí)，取名《周髀算經(jīng)》．,40,1．勾股定理,在中國(guó)，《周髀算經(jīng)》是第一部記載勾股定理的書．該書云：“

23、求邪(斜)至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！奔葱爸寥眨ㄏ遥? （圖4.7）,,41,2．等差數(shù)列,《周髀算經(jīng)》中的“七衡”便是一等差數(shù)列．七衡是七個(gè)等距離的同心圓，已知最里面的圓徑為238000里，相鄰兩圓間距離為 里，書中給出計(jì)算各圓徑的一般法則：“欲知次衡徑，倍而增內(nèi)衡之徑．二之以增內(nèi)衡徑，得三衡徑

24、．次衡放(仿)此．”這相當(dāng)于給出通項(xiàng)公式　　Dn＝D1＋(n-1)·2d， 　　其中d為相鄰兩圓間的距離．,,42,3．內(nèi)插法,所謂內(nèi)插法，是已知若干自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求這些自變量之間其他自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的一種方法，古代常用來推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，為制訂歷法服務(wù)．內(nèi)插分兩種---等間距內(nèi)插和不等間距內(nèi)插．等間距指的是自變量的間距相等．設(shè)自變量x，等間距h，函數(shù)關(guān)系為f，若函數(shù)值之

25、差 f(x＋nh)-f(x＋(n－1)h)(即一次差，其中n=1，2，…)為一不等于0的常數(shù)，則用一次內(nèi)插法；若這些函數(shù)值之差的差(即二次差)為一不等于0的常數(shù)，則用二次內(nèi)插法，依此類推．用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，n次內(nèi)插法反映的是n次函數(shù)關(guān)系．,43,《周髀算經(jīng)》中的內(nèi)插法是最簡(jiǎn)單的等間距一次內(nèi)插法．已經(jīng)測(cè)得二十四節(jié)氣中冬至、夏至的日影①長(zhǎng)，推算其他節(jié)氣的日影長(zhǎng)．假定每?jī)蓚€(gè)節(jié)氣的時(shí)間間隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影長(zhǎng)，

26、則有,其中f(n)是從夏至到冬至的第n個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)，Δ被稱為損益數(shù)．,44,4．相似形與測(cè)量術(shù),《周髀算經(jīng)》中記載著商高的“用矩之道”：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方．”頭一句是說用矩的一邊測(cè)量一線是否直線，第五、六句是用矩畫圓、畫方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的應(yīng)用：把矩的一邊垂直向上去測(cè)量高度，把矩的一邊垂直向下測(cè)量深度，把矩平放去測(cè)量地面上兩點(diǎn)間距離．,45,下面以第二句為例說