控制理論

1、第二章 物理系統(tǒng)的數(shù)學模型,本章主要內(nèi)容: 2.I 2.2 2.3 2.42.5,物理系統(tǒng)的數(shù)學模型非線性數(shù)學模型的線性化拉氏變換及其反變換典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)系統(tǒng)方框圖和信號流圖,,,,,,Part 2.1 物理系統(tǒng)的數(shù)學模型,,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,系統(tǒng)示意圖,系統(tǒng)框圖,Remember恒溫箱自動控制系統(tǒng)?,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,系統(tǒng)框圖,t? ? u2? ? ?u? ?

2、 ua? ?n? ? v? ? u? ?t?,由若干個元件相互配合起來就構(gòu)成一個完整的控制系統(tǒng)。,系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關(guān)系。,物理量的變換， 物理量之間的相互關(guān)系信號傳遞體現(xiàn)為能量傳遞（放大、轉(zhuǎn)化、儲存）由動態(tài)到最后的平衡狀態(tài)--穩(wěn)定運動,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,數(shù)學模型： 描述系統(tǒng)變量間相互關(guān)系的動態(tài)性能的運動方程,解析法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學

3、規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關(guān)系式，建立模型。實驗法 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。,建立數(shù)學模型的方法：,數(shù)學模型的形式,時間域：微分方程差分方程狀態(tài)方程復數(shù)域：傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖頻率域：頻率特性,數(shù)學模型的準確性和簡化,Part 2.1.2 建立數(shù)學模型的基礎(chǔ),機械運動： 牛頓定理、能量守恒定理電學： 歐姆定理、基爾霍夫定律熱

4、學： 傳熱定理、熱平衡定律,微分方程 （連續(xù)系統(tǒng)）,差分方程 （離散系統(tǒng)）,線性與非線性分布性與集中性參數(shù)時變性,,機械運動系統(tǒng)的三要素,機械運動的實質(zhì)： 牛頓定理、能量守恒定理,阻尼 B,質(zhì)量 M,,彈簧 K,,,,,,機械平移系統(tǒng),1）微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)2）階次等于獨立儲能元件的數(shù)量,,機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),,電氣系統(tǒng)三元件,電學：歐姆定理、基爾霍夫定律。,,RLC 串聯(lián)網(wǎng)絡電路,,相似物理系統(tǒng),,Pa

5、rt 2.1.3 提取數(shù)學模型的步驟,劃分環(huán)節(jié)寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式消去中間變量寫成標準形式,,,,,由運動方程式 （一個或幾個元件的獨立運動方程）,劃分環(huán)節(jié),,按功能（測量、放大、執(zhí)行）,寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式,找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。數(shù)學上的簡化處理，（如非線性函數(shù)的線性化，考慮忽略一些次要因素）。,,寫成標準形式,例如微分方程中， 將與輸入量有關(guān)

6、的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數(shù)項均按降冪排列。,,折算轉(zhuǎn)動慣量折算力矩折算阻尼系數(shù),2級減速齒輪傳動系統(tǒng),,2級RC無源網(wǎng)絡,,Part 2.2 非線性數(shù)學模型的線性化,,2.2.1 常見非線性模型,數(shù)學物理方程中的線性方程： 未知函數(shù)項或未知函數(shù)的（偏）導數(shù)項系數(shù)依賴 于自變量,針對時間變量的常微分方程： 線性方程指滿足疊加原理,疊加原理

7、： 可加性 齊次性,不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。,常見非線性情況,,單擺(非線性),是未知函數(shù) 的非線性函數(shù)，所以是非線性模型。,,,液面系統(tǒng)(非線性),,,是未知函數(shù)h的非線性函數(shù)，所以是非線性模型。,有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的。,2.2.2 線性化問題的提出,可以應用疊加原理，以及應用線性理論對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計。,,線性

8、系統(tǒng)缺點：,線性系統(tǒng)優(yōu)點：,2.2.3 線性化方法,,以微小偏差法為基礎(chǔ)，運動方程中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對額定工作點的偏差。,增量（微小偏差法）,假設(shè)： 在控制系統(tǒng)整個調(diào)節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產(chǎn)生足夠微小的偏差。,非線性方程 ? 局部線性增量方程,,增量方程,增量方程的數(shù)學含義 將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，

9、系統(tǒng)所有的初始條件均為零。,注：導數(shù)根據(jù)其定義是一線性映射，滿足疊加原理。,,多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,,,單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：,略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項，則：,,注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程,,單擺模型(線性化),,液面系統(tǒng)線性化,,,,,常數(shù)！,Part 2.3 拉氏變換及其反變換,,Part

10、2.3.1 拉氏變換的定義,設(shè)函數(shù)f(t)滿足：1f(t)實函數(shù)；2當t<0時 ， f(t)=0；3當t?0時，f(t)的積分 在s的某一域內(nèi)收斂,,拉氏反變換的定義,其中L－1為拉氏反變換的符號。,,,高等函數(shù)?初等函數(shù),指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù),Part 2.3.2.1 拉氏變換的計算,,,,,,,,,,指數(shù)函數(shù)的拉氏變換,,,

11、三角函數(shù)的拉氏變換,,,,冪函數(shù)的拉氏變換,,,,階躍函數(shù)的拉氏變換,,,單位速度函數(shù)的拉氏變換,,,單位脈沖函數(shù)拉氏變換,,,單位加速度函數(shù)拉氏變換,,,Part 2.3.2.3 拉氏變換的主要運算定理,,線性定理微分定理積分定理位移定理延時定理卷積定理初值定理終值定理,,,,,,,,,,,,比例定理,線性定理,,疊加定理,,,,微分定理,,,原函數(shù)的高階導數(shù) ? 像函數(shù)中s的高次代數(shù)式,,多重微分,,,,積分定理,

12、,,,多重積分,,,位移定理,,,延時定理,,,,終值定理,,,初值定理,,,卷積定理,,其它方法,,變量置換法,,條件： 分母多項式能分解成因式,,Part 2.3.2.2 拉氏反變換方法,,部分分式法的求取拉氏反變換,將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程；,解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達式；,應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。,,Part 2.3.3 拉氏變換求解線性微分方程,,應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初

13、始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單 地用sn代替dn/dtn得到。,Part 2.4 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),,,在零初始條件( )下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸

14、入量的拉氏變換之比。,Part 2.4.1 傳遞函數(shù)的定義,,輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t < 0 時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0,,,,復雜機械系統(tǒng),,初始條件為零時 微分方程拉氏變換,系統(tǒng)的傳遞函數(shù),系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式,,,,N(s)=0 系統(tǒng)的特征方程，?特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。 N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。,！從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數(shù)項都為零。K —

15、—系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。,特征方程,,,,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1, 2, …, m)，稱為傳遞函數(shù)的零點。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1, 2, …, n)，稱為傳遞函數(shù)的極點。,！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。,零點和極點,,,,傳遞函數(shù)的零、極點分布圖： 將

16、傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面上的圖形。零點用“O”表示極點用“×”表示,零、極點分布圖,,,g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)（權(quán)函數(shù)）,單位脈沖響應,,,,傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。,傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s) 決定。,

17、結(jié)論,,,適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。,傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律,無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況,只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述,,注意,,,設(shè)系統(tǒng)有b個實零點;d 個實極點;c 對復零點; e對復極點;v個零極點,Part 2.4.2 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),,,,環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。,一個環(huán)節(jié)

18、往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。,同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。,,,例1：齒輪傳動,例2：晶體管放大器,放大環(huán)節(jié)/比例環(huán)節(jié),,,,,,,齒輪傳動,,共發(fā)射極晶體管放大器,,,!儲能元件！輸出落后于輸入量，不立即復現(xiàn)突變的輸入例1：彈性彈簧例2：RC慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),,,,,,彈性彈簧,,,RC慣性環(huán)節(jié),,,！記憶,！積分,輸入突然除去?積分停止?輸出維持不變,,例1：

19、電容充電,例2：積分運算放大器,積分環(huán)節(jié),,,,,如當輸入量為常值 A 時，,輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t = 0時的值A(chǔ)。,！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,,！具有明顯的滯后作用,,,電容充電,,,積分運算放大器,例1：測速發(fā)電機,例2：RC微分網(wǎng)絡,例3：理想微分運放,例4：一階微分運放,微分環(huán)節(jié),,,,,,,,,,,,!無負載時,,,,測速發(fā)電機,,,RC微分網(wǎng)絡,,理想微分運算放大器,,,一階微分運算放大器,,不同形式儲能元件

20、能量轉(zhuǎn)換振蕩,,,例1：機械平移系統(tǒng),例2：RLC串聯(lián)網(wǎng)絡,振蕩環(huán)節(jié),,,,,,機械平移系統(tǒng),,,,RLC串聯(lián)網(wǎng)絡電路,,,,二階微分環(huán)節(jié),,運動方程式：,傳遞函數(shù)：,?—環(huán)節(jié)的時間常數(shù),超越函數(shù)近似處理,例1：水箱進水管的延滯,延滯環(huán)節(jié),,,慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。,延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 ~τ時間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。,,延遲環(huán)節(jié)與慣性

21、環(huán)節(jié)的區(qū)別,,,水箱進水管的延滯,,,對于實零點zi=?αi,對于實極點pj=?βj,,,對于復零點對zl=?αl+j?l、zl+1=?αl-j?l,,,對于復極點對pk=??k+j?k、zk+1=? ?k-j?k,,Part 2.5 系統(tǒng)方塊圖和信號流圖,,,2.5.12.5.22.5.3,方塊圖系統(tǒng)信號流圖控制系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,,結(jié)構(gòu)方塊圖由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖的繪制,,,Part 2.5.1 方塊圖,2.5.1

22、.12.5.1.22.5.1.3,,,,,2.5.1.1 結(jié)構(gòu)方塊圖,,,！脫離了物理系統(tǒng)的模型,!系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式,形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。,依據(jù)信號的流向 ，將各元件的方塊連接起來組成整 個系統(tǒng)的方塊圖。,函數(shù)方塊圖,任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及求和點組成的方塊圖來表示。,求和點,函數(shù)方塊,引出線,函數(shù)方塊,信號線,3函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))

23、 函數(shù)方塊具有運算功能,4求和點（比較點、綜合點）1.用符號“?”及相應的信號箭頭表示2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號,! 注意量綱,相鄰求和點可以互換、合并、分解。?代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。,!求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的,,,方框圖的等效變換法則,,公式直接法,化簡法,代數(shù)法,方塊圖的化簡,方塊圖的運算規(guī)則,串聯(lián)、并聯(lián)、反饋,基于方塊圖的運算規(guī)則,基于比較點的簡化,基于引出點的

24、簡化,2.5.1.2 由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,,幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。,,例：隔離放大器串聯(lián)的RC電路,串聯(lián)運算規(guī)則,,同向環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。,,并聯(lián)運算規(guī)則,,,反饋運算規(guī)則,,,基于方塊圖的運算規(guī)則,,基于比較點的簡化,基于引出點的簡化,,把幾個回路共用的線路及環(huán)節(jié)分開，使每一個 局部回路、及主反饋都有自己專用線路和環(huán)節(jié)。確定系統(tǒng)中的輸入輸出量，把輸

25、入量到輸出量 的一條線路列成方塊圖中的前向通道。通過比較點和引出點的移動消除交錯回路。先求出并聯(lián)環(huán)節(jié)和具有局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函 數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,方塊圖求取傳遞函數(shù)-簡化法,,,,,方塊圖化簡,,,方塊圖求取傳遞函數(shù),,,只有一條前向通道的多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),（梅遜公式）,閉環(huán)系統(tǒng)輸入量到輸出量間的串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)即前向通路傳遞函數(shù)的乘積。,n 閉環(huán)系統(tǒng)所具有的反饋回路的總數(shù),i 各反饋回路的序

26、號,閉環(huán)系統(tǒng)中各交錯反饋或多環(huán)局部反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)即每個反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積。,-正反饋 + 負反饋,公式法,,梅遜公式方塊圖直接求取傳遞函數(shù),,,代數(shù)法,,,隔離放大器串聯(lián)的RC電路,,建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關(guān)系（輸入/輸出）。,對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。,按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件 的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。,例：二階RC電氣網(wǎng)絡,例：二階機械

27、平動系統(tǒng),,2.5.1.3 方塊圖的繪制,,二階RC電氣網(wǎng)絡,,,,,,二階機械平動系統(tǒng),,,,,,2.5.2.1 信號流圖及其術(shù)語2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則2.5.2.3 根據(jù)微分方程繪制信號流圖2.5.2.4 根據(jù)方框圖繪制信號流圖2.5.2.5 信號流圖梅遜公式,,Part 2.5.2 系統(tǒng)信號流圖,,,,,,信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點

28、和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡。,節(jié)點,表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和。,支路,連接兩個節(jié)點的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。,通路,沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。,2.5.2.1 信號流圖及其術(shù)語,輸入節(jié)點,只有輸出的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量。,輸出節(jié)點,只有輸入的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量。,混合節(jié)點,既有輸入又有輸出的節(jié)

29、點。若從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，可 點變?yōu)檩敵龉?jié)點。,,前向通路,從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。,,回路,起點與終點重合且通過任何節(jié)點不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用Lk表示。,不接觸回路,相互間沒有任何公共節(jié)點的回路,X2、X3,X3、X4,X5,,,2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則,2.5.2

30、.3 根據(jù)微分方程繪制信號流圖,,,,,,只有一條前向通路,三個不同回路,L1、L2不接觸 P1與L1、L2、L3均接觸,,,,2.5.2.4 根據(jù)方框圖繪制信號流圖,,,方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖,,,方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖,,G —系統(tǒng)總傳遞函數(shù),Pk—第k條前向通路的傳遞函數(shù)（通路增益）,? —流圖特征式,—所有不同回路的傳遞函數(shù)之和,—每兩個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,—每三個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,—第k條前向

31、通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式?，將與第k 條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的?即為?k。,?k,—任何m個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,例：二階RC電氣網(wǎng)絡,例：一個前向通道,例：多個前向通道,例：課堂作業(yè),,2.5.2.5 信號流圖梅遜公式,,,一個前向通道,,,,多個前向通道,,2.5.3.1系統(tǒng)傳遞函數(shù) 僅控制量作用下 僅擾動量作用下

32、 控制量和擾動共同作用下2.5.3.2系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù) 僅擾動量作用下 控制量和擾動共同作用下,,,Part 2.5.3 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù),,,,單獨處理線性疊加,前向通道：R(s)到C(s)的信號傳遞通路,反饋通道：C(s)到B(s)的信號傳遞通路,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋回路接通后， 輸 出量與輸入量的比值。,

33、系統(tǒng)對控制量R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)對攏動量N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù),,2.5.3.1系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,,,,系統(tǒng)工作在開環(huán)狀態(tài)，反饋通路斷開。,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳 遞函數(shù)的乘積。,(反饋信號B(s)和偏差信號 (s)之間的傳遞函數(shù)),,系統(tǒng) 的開環(huán)傳遞數(shù)函數(shù),,假設(shè)擾動量N(s)=0,,,,控制量R(S)作用,,假設(shè)R(s)=0,！擾動的影響將

34、被抑制,,,,擾動量N(S)作用,,,控制量與擾動量同時作用,,以誤差信號E(s)為輸出量，以控制量R(s)或攏動量R(s)為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,,2.5.3.2 系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù),,假設(shè)擾動量N(s)=0,,控制量R(S)作用,,假設(shè)R(s)=0,,擾動量N(S)作用,,,控制量與擾動量同時作用,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的特征多項式,1+G1(s)G2(s)H(s),G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,系統(tǒng)的固有