一極限部分

1、說明：請用說明：請用A4紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學完積分之后才能做）紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學完積分之后才能做）第一章第一章函數與極限函數與極限一、本章主要知識點概述1、本章重點是函數、極限和連續(xù)性概念；函數是高等數學研究的主要對象，而極限是高等數學研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數學中的一些的重要概念，如連續(xù)、導數、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數學的始終。然而，

2、極限又是一個難學、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現代數學的兩大矛盾于一身。（1）、動與靜的矛盾：極限描述的是一個動態(tài)的過程，而人的認識能力本質上具有靜態(tài)的特征。（2）無窮與有窮的矛盾：極限是一個無窮運算，而人的運算能力本質上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運動中產生，這也是極限難學、難懂、難用之所在。連續(xù)性是高等數學研究對象的一個基本性質，又往往作為討論函數問題的一個先決條件，且與函數的可導性、可積性存在著不可分割的邏輯關

3、系。2、從2001年第一屆天津市大學數學競賽至今共八屆競賽試題分析，函數極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導數、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個別題目是研究生入學考試題目的原題，如2004年競賽試題二為1997年研究生入學考試題目；2006年競賽試題一為2002年研究生入學考試試題；2005年競賽試題一為1997年研究生入學考試試題等，這也從側面反映了部分試題難度系數。二、證明極

4、限存在及求極限的常用方法1、用定義證明極限；2、利用極限的四則運算法則；3、利用數學公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）4、利用極限的夾逼準則求極限；5、利用等價無窮小的代換求極限；6、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結合冪指函數極限運算公式求極限）；（2）利用洛必達法則求極限；7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；8、利用函數的連續(xù)性求極限；9、利用導數的定義求極限；10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證

5、明數列極限的存在（常用到“單調有界數列必有極限”的準則，再利用遞歸關系求極限）12、數列極限轉化為函數極限等。當然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達法則時經常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算。對于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如；1()()lim()nbaniibabafxdxfann??????????。1(1)()()lim()nbaniibabafxdxfann???????????三、例題分析（一）函數及

6、其運算1、，求函數的定義域。2()ln2xfxx???2()()fxfx?2、設，，且，求極其定義域。2()xfxe???()1fxx???()0x??()x?3、（2001年研究生入學考試）設，求。11()01xfxx????????????()fffx4、（1997年）設，，求。20()20xxgxxx????????20()0xxfxxx?????????()gfx（二）極限的運算（五）無窮小的比較與無窮小的階的確定常用工具——洛

7、必達法則與泰勒公式。19、時，是的階無窮小。0x?3311x??x20、，。arcsin~xx?arctan~xx?（六）由極限值確定函數式中的參數求極限式中的常數，主要根據極限存在這一前提條件，利用初等數學變形、等價無窮小、必達法則、泰勒公式等來求解。21、若，則a=，b=.5)(cossinlim0????bxaexxx22、已知，求。33lim(1)0xxx??????????23、已知，求2lim(31)2xxaxbx?????

8、??ab24、確定常數，使，求。abc30sinlim(0)ln(1)xxbaxxcctdtt??????abc四、練習題1、=。11limlnxxxxx??2、求。??2limlnarctan(1)lnarctanxxxx?????3、求。2220coslim[ln(1)]xxxexxx?????4、求。332434lim(32)xxxxx??????5、求。??011limlncosxxxx???6、求。11032sinlim32x