一、數(shù)列極限的定義

1、§1. 數(shù)列極限和無窮大§2. 函數(shù)的極限§3. 連續(xù)函數(shù) §4. 無窮小量和無窮大量的階,,,Chapt 2. 極限與連續(xù),§1. 數(shù)列的極限和無窮大量,一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運算七、小結(jié) 思考題,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”

2、——劉徽,1、割圓求周,播放,極限思想：,,討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系,（1）在任何有限的過程中，即對任何確定的n， 皆為 的近似值；（2）在無限的過程中，即當(dāng)n無限增大時， 無限接近于常數(shù) 的精確值。,是 當(dāng)n無限增大時的極限,圓面積亦如此。,2、截丈問題,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,,一、數(shù)列極限的定義,1.數(shù)列: 是按次序排列的一列無窮多個數(shù),,,,數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為

3、定義域由小到大取值所對應(yīng)的一列函數(shù)值。,對 ，設(shè) ，則,函數(shù)值：,自變量：,例如：,,0,1,,擺動！,無限增大!,考慮數(shù)列,播放,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,定量分析： 無限趨近于1是指：當(dāng)

4、n 充分大時, 能任意小，并保持任意小。,例如：,即 自然數(shù)10，當(dāng)n>10時，有,… …,由不等式有 ，故只須 即可。,以上還不能說明 任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。,自然數(shù) ，當(dāng) 時，便有,定量定義：,則稱數(shù)1是

5、 的極限。,若數(shù)列不存在極限, 則稱數(shù)列是發(fā)散的.如 是發(fā)散數(shù)列.,,,,,,,,,,,３、數(shù)列極限的幾何解釋:,,,,,,,,,鄰域法,可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項以后有關(guān)，而與它前面的有限個項無關(guān)。因之，在討論數(shù)列極限時，可添加、去掉或改變其有限個項的數(shù)值，對收斂性和極限都無影響。,？,（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與 有關(guān)而 與

6、n無關(guān)。,（1）正數(shù) 的任意性和相對固定性。,4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點理解,（3）當(dāng) 時，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。,無窮小量不是很小的量。,例1,證:,方法1：直接解不等式 ，求N.,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,注意：,(不妨設(shè) ),例2,證：,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N

7、.,方法2：若 不易求解，可設(shè)法先把 適當(dāng)?shù)胤糯?，再由 求解N.,證明：分三種情況證明.,or,此法一。,（法二）,,,(,),,,,b,a,x,,,(,),二、列極限的性質(zhì),Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。,稱“兩邊夾”法則,,Def:,Th4. 有極限的數(shù)列是有界的。,三、數(shù)列極限的

8、運算,注1. 兩數(shù)列收斂僅是極限運算成立的充分條件，而非必要條件。例如：,,注2. 極限運算可推廣到有限多個數(shù)列的情形，但對無窮多個卻不成立。,,四. 單調(diào)有界數(shù)列,Def :,若等號都不成立，則稱它是嚴格單調(diào)增加（或減少）的。,Th（實數(shù)連續(xù)性） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,五. 無窮大量的定義,Def :,,極限含義的差別。,注,,,),),.,,O,-G,G,x,六、無窮大量的性質(zhì)和運算,Th.,七、小結(jié),數(shù)列:研

9、究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想、定義、幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):保號性、唯一性、“兩邊夾法則”、有界性;,數(shù)列極限的運算:代數(shù)和、積與商;,單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,無窮大量、定義、性質(zhì)和運算,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少

10、，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少

11、，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽,1、割圓求周,極限思想：,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的

12、“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“

13、極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極

14、限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限

15、”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。,,,定性分析：當(dāng)n無限增大時， 無限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”