利用角平分線構(gòu)造全等三角形

1、善于構(gòu)造善于構(gòu)造活用性質(zhì)活用性質(zhì)安徽張雷幾何問題中幾何問題中若出現(xiàn)角平分線這一條件時若出現(xiàn)角平分線這一條件時可聯(lián)想角平分線的特性可聯(lián)想角平分線的特性靈活利用角平分線靈活利用角平分線的特性來解決問題的特性來解決問題.1.顯“距離距離”用性質(zhì)用性質(zhì)很多時候很多時候題意中只給角平分線這個條件題意中只給角平分線這個條件圖上并沒有出現(xiàn)圖上并沒有出現(xiàn)“距離距離”而角平分線性而角平分線性質(zhì)的運用又離不開這個質(zhì)的運用又離不開這個“距離距離”所以同學(xué)們應(yīng)

2、大膽地讓所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離距離”現(xiàn)身（過角平分線上現(xiàn)身（過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線段）的一點向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點，你知道這是為什么嗎？分析分析：我們知道兩條直線是交于一點的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點已知：如圖，△ABC的角平分線AD與BE交于點I，求證：點I在∠ACB的平分線上證明證明：過點I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分別是點H、G、F∵點I

3、在∠BAC的角平分線AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代換）又IG⊥AC、IF⊥BC∴點I在∠ACB的平分線上（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點【例2】已知：如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F求證：BP為∠MBN的平分線【分析】要證BP為

4、∠MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過P作PE⊥AC于E根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問題得證【證明】過P作PE⊥AC于E∵PA、PC分別為∠MAC與∠NCA的平分線且PD⊥BM，PF⊥BN∴PD=PE，PF=PE∴PD=PF又∵PD⊥BM，PF⊥BN∴點P在∠MBN的平分線上，DCBAEHIFG∵BD⊥CF（已知）∴∠BDC=∠BDF=90∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1

5、=∠2在△BCD和△BFD中21()()()BDBDBDCBDF????????????公公公公公公公∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD，即CF=2CD∵∠5=∠4=90，∠BDF=90∴∠3∠F=90，∠1∠F=90?！唷?=∠3。在△ABE和△ACF中4513()ABAC????????????公公∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF，∴BE=2CD。例6.如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，C