極限和連續(xù)

1、第1頁（共9頁）第一講極限和連續(xù)一、極限的定義：數(shù)列定義、函數(shù)定義。（略）N??X?????例1：證明。21220lim12xnnedxnx??????證明：取，我們有0??（1）????22222001arctan112xnendxenenx?????????????????????221221arctanarctan1arctanarctan1xnenenndxennnx?????????????因為，所以由夾逼準(zhǔn)則可得。??lim

2、arctanarctan0nnn?????2122lim01xnnendxnx???????1220limlimarctan12nnndxnnx?????????對任取的，當(dāng)充分小時，由（1）可得可以成立，0???222013xnendxnx??????又因為，所以存在，當(dāng)有21122220lim0lim112xnnnenndxdxnxnx?????????????0N?nN?2112222013123xnenndxdxnxnx????

3、????????此時有22211122222222000121112xxxnenennenndxdxdxdxnxnxnxnx?????????????????????由此可得。21220lim12xnnedxnx??????二、極限的計算方法：1）代入法（利用函數(shù)的連續(xù)性）；????00limxxfxfx??2）單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；3）兩個重要極限：；0sin1lim1lim1xxxxexx????????????4）極限的四則運算

4、法則；第3頁（共9頁）由此可得????????11111nNnNnNnNnNaaAbbaaAbbAbb????????????????????又因為1111111nnnNnNNnNnnNnnNnNnaabbaaabbAAAbbbbbbbbb???????????????????????????11111nNnNNNnNnnaabbaAbAbbbb???????????????????由于，所以存在，當(dāng)時有，并且有l(wèi)imnnb?????1

5、NN?1nN?11NNnaAbb?????，所以當(dāng)時有11nNnbbb???1nN?11112nnNNNnnNnaaaaAbAAbbbb?????????????由此即得。的情形類似證明。11limlimnnnnnnnnaaabbb?????????11limnnnnnaabb????????例2：證明極限的平均值定理1、設(shè)存在或為，則有；limnna???12limlimnnnnaaaan?????????2、設(shè)，且存在或為，則有01

6、2nan???limnna???12limlimnnnnnaaaa??????證明：利用施托爾茨定理證明1、????12112112limlimlim1nnnnnnnnaaaaaaaaaaannn?????????????????????????2、因為，所以12lnlnln12naaannnaaae??????。12lnlnlnlimlimlnlnlim12limlimnnnnnnaaaaannnnnnaaaeeea?????????