等腰三角形“三線合一”的應(yīng)用舉例

1、例說等腰三角形的例說等腰三角形的“三線合一三線合一”濟(jì)寧市梁山縣小路口鎮(zhèn)初級中學(xué)李麗（適用于人教版初二版10月刊）“三線合一”性質(zhì)是等腰三角形所特有的重要性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高線互相重合.該性質(zhì)其實包括如下三方面的內(nèi)容：如圖1，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一點.CDAB圖1（1）若AD是等腰△ABC底邊BC上的中線，那么AD是頂角∠BAC的平分線，AD是底邊BC上的高線；（2）若AD是等腰△AB

2、C頂角∠BAC的平分線，那么AD是底邊BC上的中線，AD是底邊BC上的高線；（3）若AD是等腰△ABC底邊BC上的高線，那么AD是頂角∠BAC的平分線，AD是底邊BC上的中線.由此可以看出，“三線合一”性質(zhì)給我們提供了證明角相等、直線垂直、線段相等的新思想和新方法.在解答一些圖形有關(guān)的證明問題時，要注意靈活運(yùn)用它們。下面僅舉幾例和同學(xué)們共同見識一下“三線合一”的神通.一、證明角相等或倍數(shù)關(guān)系一、證明角相等或倍數(shù)關(guān)系例1、已知：如圖2，在

3、中，，于D求證：ABC?ACAB?ADBD?DBCBAC???2【分析分析】作出等腰的頂角平分線將頂角分為相等的兩部分，根據(jù)“三線合一”ABC?的性質(zhì)證得等于其中任一部分即可DBC?【證明證明】作的平分線AE，BAC?則有BAC?????2121∵，，∴（三線合一）ACAB?21???BCAE?CFADBE圖4【分析分析】：注意到△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，那么底邊上的高與BC垂直.要證明DE⊥BC，應(yīng)先證明DE與這條高平行.【

4、證明證明】：過A作AF⊥BC于F.∵AB＝AC，AF⊥BC于F，∴AF是等腰三角形△ABC底邊BC上的高線.∴AF平分∠BAC.∴∠BAC＝2∠BAF.∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED.∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D.∴∠BAF＝∠D，DE∥AF.∴DE⊥BC.【點撥點撥】當(dāng)題設(shè)中同時具備下列兩個條件時，就可以利用“三線合一”來證明兩條直線相互垂直：（1）有一個等腰三角形；（2）兩條直線中有一條是這個等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的