微分及意義

1、第三章導(dǎo)數(shù)與微分第五講1第五講第五講微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用授課題目：授課題目：第六節(jié)微分及其應(yīng)用教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：1.理解微分的概念和微分的幾何意義2.會(huì)求函數(shù)的微分3.會(huì)利用函數(shù)的微分進(jìn)行近似計(jì)算4.理解微分形式不變性教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)的微分難點(diǎn)：函數(shù)微分的定義講授內(nèi)容：講授內(nèi)容：第六節(jié)第六節(jié)微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用一、微分的定義與幾何意義一、微分的定義與幾何意義討論當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大

2、體上的變化情況討論當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上的變化情況。引例引例：邊長(zhǎng)為的正方形鐵片，其面積函x數(shù)為，假定它在受熱而膨脹，邊長(zhǎng)增加，2xy?0xx?這時(shí)面積的增加量為從上式可2020202)(xxxxxxy?????????以看出，分成兩部分，第一部分是的線y?xx?02x?性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二部分是比高階的無(wú)窮小。由此可見，如果邊長(zhǎng)x?改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量可用第一x?部分來(lái)代替，此時(shí)誤差

3、也很?。ㄕ`差僅為）。2x?1、定義、定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)，如)(xfy?0xxx??0果函數(shù)的增量)()(00xfxxfy?????可表示為)(xoxAy?????其中是不依賴的常數(shù)，那么稱函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)可微的可微的，而叫做函數(shù)Ax?)(xfy?0xxA?在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分微分，記作，即)(xfy?0xx?dyxAdy??0xx?第三章導(dǎo)數(shù)與微分第五講3又因是的線性函數(shù)，所以在的條件下，就說(shuō)是xxfdy???)(

4、0x?0)(0??xfdy的線性主部線性主部（當(dāng)）。y?0??x通常將自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即，于是，函數(shù)xx?dxxdx??的微分又記為)(xfy?dxxfdy)(??從而有)(xfdxdy??函數(shù)的微分與自變量的微分的商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做dydx“微商”。3、微分的幾何意義、微分的幾何意義函數(shù)的圖形是一條曲線，()yfx?函數(shù)是可微的，當(dāng)是曲線)(xfy?y?的點(diǎn)的)(xfy?縱坐標(biāo)的增量時(shí)，就是曲線的

5、dy切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量切線段近似代替曲線段。因的附近在點(diǎn)很小時(shí)當(dāng)Mx?而，dyy??二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則我們把自變量的微分定義為自變量的改變量，因此可導(dǎo)函數(shù)在任一點(diǎn)的dxx?)(xf微分可寫成dxxfdy)(??1、基本微分公式：、基本微分公式：dxxdarcdxxxddxxxddxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxaxxddxxxdadxadadxededxxdxdcaxxxx222222111cot1