微分應(yīng)用

1、第四章。微分學(xué)應(yīng)用第四章。微分學(xué)應(yīng)用對(duì)于變量取實(shí)數(shù)的函數(shù)，我們已經(jīng)建立了導(dǎo)數(shù)與微分的概念，可以應(yīng)用于研究實(shí)變量函數(shù)的局部性質(zhì)。本章討論的就是如何應(yīng)用這兩個(gè)概念來(lái)研究實(shí)變量函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的概念。函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的概念。從直觀的角度來(lái)理解這兩個(gè)概念，還是比較容易的，不過(guò)初學(xué)者容易把握不到要點(diǎn)的地方是這兩個(gè)概念完全是局部性質(zhì)的概念，即只是在一點(diǎn)的附近，或者是在一點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有效，而不管這個(gè)鄰域是多么的小。因此函數(shù)的極值點(diǎn)更

2、為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f(shuō)，應(yīng)該是函數(shù)的局部極值點(diǎn)。仔細(xì)分析一下下面的定義：如果函數(shù)在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)都有定義，而函數(shù)在這個(gè)鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的函數(shù)值總是小于或等于函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值，那么這點(diǎn)就是函數(shù)在這個(gè)鄰域內(nèi)的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)，函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)在這個(gè)鄰域內(nèi)的極大值極大值；反過(guò)來(lái)，就分別稱(chēng)為函數(shù)在這個(gè)鄰域內(nèi)的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)和極小值。極小值?？梢郧宄乜吹?，極值點(diǎn)和極值都只是對(duì)于一個(gè)鄰域而言的，任何時(shí)候不首先給出這極值點(diǎn)和極值都只是對(duì)于一個(gè)鄰域而言的

3、，任何時(shí)候不首先給出這個(gè)鄰域，討論極值點(diǎn)和極值都是沒(méi)有意義的。個(gè)鄰域，討論極值點(diǎn)和極值都是沒(méi)有意義的。從幾何直觀的角度來(lái)講，我們一般地可以通過(guò)圖形來(lái)表示這個(gè)概念，比方說(shuō)如圖所示：我們說(shuō)圖中函數(shù)在a的取值為極大值，同時(shí)還必須說(shuō)明這個(gè)極大值具有存在意義的鄰域，而這個(gè)鄰域的大小顯然有時(shí)候是無(wú)法通過(guò)圖形表示的。那么我們是否還有更為方便的描述方法呢？根據(jù)定義來(lái)通過(guò)一一比較而得到極值，顯然是不可行的，我們希望存在更為直接的描述，可以應(yīng)用來(lái)作為實(shí)際可

4、行的判據(jù)，這就需要導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)的某個(gè)鄰域里是以這點(diǎn)作為極值點(diǎn)的，那么函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)如果存在，函數(shù)在一點(diǎn)的某個(gè)鄰域里是以這點(diǎn)作為極值點(diǎn)的，那么函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)如果存在，則必定是等于則必定是等于0。這是極值點(diǎn)的一個(gè)特征，但是反過(guò)來(lái)，如果我們要判斷一點(diǎn)是否極值點(diǎn)，并不是完全這是極值點(diǎn)的一個(gè)特征，但是反過(guò)來(lái)，如果我們要判斷一點(diǎn)是否極值點(diǎn)，并不是完全依賴(lài)這個(gè)特征，因?yàn)檫@個(gè)定理反過(guò)來(lái)說(shuō)并不是正確的，即導(dǎo)數(shù)等于依賴(lài)這個(gè)特征，因?yàn)檫@個(gè)定理反

5、過(guò)來(lái)說(shuō)并不是正確的，即導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，并不一定就是的點(diǎn)，并不一定就是極值點(diǎn)。極值點(diǎn)。這樣我們就必須對(duì)于導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)給出專(zhuān)門(mén)的稱(chēng)呼，使得我們?cè)趯?shí)際的尋找極值點(diǎn)的過(guò)程中，是首先找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，然后再在這種點(diǎn)中間分辨出極值點(diǎn)出來(lái)。我們稱(chēng)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)為駐點(diǎn)或者說(shuō)平穩(wěn)點(diǎn)。那么上面的定理就可以這么說(shuō)：函數(shù)的極值點(diǎn)首先必須是函數(shù)的駐點(diǎn)。我們還可以進(jìn)一步擴(kuò)大這種包含極值點(diǎn)的范圍，比方說(shuō)，我們定義導(dǎo)數(shù)為0和根本就嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明可以有多種方法，例如可以通過(guò)應(yīng)

6、用羅爾定理。同樣必須注意這里和上面的定理具有同樣的條件?？挛髦兄刀ɡ?。柯西中值定理。如果是兩個(gè)函數(shù)在同一個(gè)閉區(qū)間上同時(shí)滿足上面的兩個(gè)條件，那么就有下面的定理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f（x）和）和y=g（x）同時(shí)滿足下面的條件：）同時(shí)滿足下面的條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)；）上可導(dǎo)；（3）兩個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上不同時(shí)為）兩個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上不同時(shí)為0；則在開(kāi)區(qū)間（則在開(kāi)區(qū)間（a，b

7、）上必定存在一點(diǎn)）上必定存在一點(diǎn)c，使得兩個(gè)函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足：，使得兩個(gè)函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足：)()()()()()(agbgafbfcgcf???顯然這個(gè)表達(dá)式還要求顯然這個(gè)表達(dá)式還要求0)()(??agbg。注意這個(gè)定理里的條件（3）。這個(gè)定理同樣可以應(yīng)用羅爾定理，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明。而如果取g（x）=x，則這個(gè)定理就是拉格朗日中值定理。因此這個(gè)中值定理可以看成是這三個(gè)中值定理當(dāng)中最一般的定理。羅必達(dá)法則。羅必達(dá)法則?？挛髦?/p>

8、值定理的一個(gè)極其重要的應(yīng)用就是可以用來(lái)計(jì)算未定型的極限。仔細(xì)觀察柯西中值定理里的表達(dá)式的形式，可以看到兩個(gè)函數(shù)式的比值，在移動(dòng)條件下可以化成者兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，這樣就有可能使得作為未定型的分式的分子與分母所表示的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，而得到非未定型。這是一個(gè)基本的思路，我們有下面的定理：（1）兩個(gè)函數(shù)）兩個(gè)函數(shù)f（x）和）和g（x）在開(kāi)區(qū)間（）在開(kāi)區(qū)間（a，b）可微，并且在這個(gè)開(kāi)區(qū)間上，）可微，并且在這個(gè)開(kāi)區(qū)間上，g（x）的導(dǎo)數(shù)不等于）的

9、導(dǎo)數(shù)不等于0；（2）存在極限）存在極限Axgxfax???)()(lim0，其中其中A為一個(gè)有限的常數(shù)。為一個(gè)有限的常數(shù)。則在以下情況下：則在以下情況下：（3）0)(lim0???xfax和0)(lim0???xgax或者或者（3`）????)(lim0xgax那么就有那么就有???)()(lim0xgxfaxAxgxfax???)()(lim0。反過(guò)來(lái)在區(qū)間的另一個(gè)端點(diǎn)也存在相類(lèi)似的結(jié)果。反過(guò)來(lái)在區(qū)間的另一個(gè)端點(diǎn)也存在相類(lèi)似的結(jié)果。這