《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》修訂說(shuō)明

1、課程標(biāo)準(zhǔn)解讀與 初中數(shù)學(xué)教學(xué),東北師范大學(xué)史寧中2013. 9,報(bào)告目錄,一、修改過(guò)程簡(jiǎn)述二、課程標(biāo)準(zhǔn)解讀三、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求,一、修改過(guò)程簡(jiǎn)述,修改過(guò)程2001年，頒布課程標(biāo)準(zhǔn)、啟動(dòng)新一輪的課程改革2005年 3月，兩會(huì)期間對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)出現(xiàn)爭(zhēng)論2005年 6月，教育部成立數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作組2006年10月，完成初稿2011年 2月，根據(jù)教育部的要求進(jìn)行最終修改,,修訂組成員。由

2、14人組成，包括：數(shù)學(xué)教授 6 人： 史寧中（組長(zhǎng)，東北師范大學(xué)）、柳彬（北京大學(xué)）、 李文林（中國(guó)科學(xué)院）、顧沛（南開(kāi)大學(xué)）、張英伯（北京師范大學(xué)）、王尚志（首都師范大學(xué)）；數(shù)學(xué)教育教授 5 人： 馬云鵬（東北師范大學(xué)）、馬復(fù)（南京師范大學(xué)）、黃翔（重慶師范大學(xué)）、劉曉玫（首都師范大學(xué)）、張丹（北京教育學(xué)院）；數(shù)學(xué)教研員 1 人：楊裕前（江蘇常州教育研究室）；數(shù)學(xué)教師 2 人：張思明（北京大學(xué)附屬中學(xué)）

3、、儲(chǔ)瑞年（北京師范大學(xué)附屬中學(xué)）。,,2005年 6月，在教育部 9 樓會(huì)議室召開(kāi)會(huì)議 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組正式成立。周濟(jì)部長(zhǎng)到會(huì)陳小婭副部長(zhǎng)講話基本要求 1. 遵循《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》確定的基礎(chǔ)教育課程 改革的基本理念； 2. 總結(jié)新一輪課程改革實(shí)施經(jīng)驗(yàn)； 3. 使數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更加完善； 4. 使數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)便于實(shí)施。,,在廣泛調(diào)查的基礎(chǔ)

4、上，第一次會(huì)議在吉林松花湖畔召開(kāi)。 確定了課程標(biāo)準(zhǔn)修改原則；進(jìn)行了大體分工。堅(jiān)持基礎(chǔ)教育課程改革大方向；使得標(biāo)準(zhǔn)更加準(zhǔn)確、規(guī)范、明了、全面；更適合于教材編寫(xiě)、教師教學(xué)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)；進(jìn)一步處理好以下幾個(gè)關(guān)系： 1.關(guān)注過(guò)程和結(jié)果的關(guān)系； 2.學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系； 3.合情推理和演繹推理的關(guān)系； 4.生活情境和知識(shí)系統(tǒng)性的關(guān)系。,,二、課程標(biāo)準(zhǔn)解讀,把握好三個(gè)問(wèn)題（參見(jiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》的序言）

5、1.如何理解課標(biāo) 由教學(xué)大綱到課程標(biāo)準(zhǔn)的變化：教育理念、三維目標(biāo) 2.如何理解數(shù)學(xué) 一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性（抽象、推理、模型） 3.如何理解數(shù)學(xué)教育 基礎(chǔ)性、普及性、發(fā)展性（不僅知識(shí)技能，也包括思維） 目標(biāo)：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能 + 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 能力：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題 + 分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,,1.由教學(xué)大綱到課程標(biāo)準(zhǔn)：教育理念的轉(zhuǎn)變 過(guò)去的理念：以知識(shí)為本（結(jié)果的教育）

6、 關(guān)心問(wèn)題是： 應(yīng)當(dāng)教那些內(nèi)容 應(yīng)當(dāng)教到什么程度 考核內(nèi)容是： 規(guī)定的內(nèi)容是否教了 學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求 教學(xué)目標(biāo)是： 基礎(chǔ)知識(shí)（概念記憶與命題理解）扎實(shí) 基本技能（證明技能與運(yùn)算技能）熟練 教學(xué)形式是: 課堂、教材、教師（凱洛夫的三中心論）,現(xiàn)代的理念：以人為本、育人為本（綱要）

7、 以學(xué)生的發(fā)展為本（結(jié)果的教育 + 過(guò)程的教育） 不僅要記住一些數(shù)學(xué)的知識(shí)、掌握一些數(shù)學(xué)的技能。 還要培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)（素質(zhì)教育的核心） 數(shù)學(xué)的眼睛、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言 要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想 積累思維的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能 + 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

8、 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題 + 分析問(wèn)題、解決問(wèn)題 場(chǎng)景：操場(chǎng)有10名男同學(xué)，6名女同學(xué) 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題可以是現(xiàn)實(shí)的，提出問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)的,,2. 如何理解數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 科學(xué)與藝術(shù)的區(qū)別 數(shù)學(xué)研究的東西不僅是現(xiàn)實(shí)的，也有發(fā)明，比如， 復(fù)數(shù)、四元數(shù)、高維空間、向量：教科書(shū)需要數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)的特征依賴(lài)數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)思想不

9、是：配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法 劃歸、轉(zhuǎn)換、分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程 數(shù)學(xué)基本思想：數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴(lài)的思想 學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)與沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異 抽象、推理、模型 數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任：會(huì)抽象、會(huì)推理,,通過(guò)抽象：把研究對(duì)象、以及對(duì)象之間的關(guān)系形成概念 數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系

10、 從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部，數(shù)學(xué)具有一般性通過(guò)推理：從假設(shè)前提出發(fā)，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果 邏輯推理：演繹推理、歸納推理 促進(jìn)數(shù)學(xué)自身合理發(fā)展，數(shù)學(xué)具有邏輯性通過(guò)模型：解決現(xiàn)實(shí)世界中的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事 從數(shù)學(xué)內(nèi)部到現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)具有應(yīng)用性 得到數(shù)學(xué)的基本特征： 一般性（抽象）、嚴(yán)謹(jǐn)性（

11、邏輯）、應(yīng)用的廣泛性（模型）,,,3.如何理解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育 義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育也具有三性 基礎(chǔ)性、普及性、發(fā)展性 大多數(shù)學(xué)生未來(lái)并不從事數(shù)學(xué)工作 應(yīng)當(dāng)如何學(xué)習(xí)知識(shí)和技能：教學(xué)方法 除知識(shí)技能外還能得到什么：數(shù)學(xué)素養(yǎng)（思維方式） 一個(gè)人的成功依賴(lài)三個(gè)因素：知識(shí)、機(jī)遇、思維方式 一個(gè)好的思維方式的養(yǎng)成依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)的積累,,培養(yǎng)學(xué)生的總體目標(biāo)

12、：成為合格的公民 附?。簩W(xué)習(xí)的興趣、良好的學(xué)習(xí)、良好的身心素質(zhì) 附中：向上的精神、學(xué)習(xí)的興趣、創(chuàng)造的激情、社會(huì)的責(zé)任感掌握必要的知識(shí)技能 基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能具有必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 掌握數(shù)學(xué)基本思想：抽象、推理、模型 積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：思維的經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn),三、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求,實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)、實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)：不僅要關(guān)注教師如何教、更要關(guān)注學(xué)生如何學(xué)不僅重視教學(xué)方法、更要重視教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

13、四基要求 不僅知道一些數(shù)學(xué)概念，掌握一些數(shù)學(xué)方法，還讓學(xué)生感悟一些數(shù)學(xué)的基本思想，積累一些數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。 通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)使得學(xué)生具有一定的抽象能力和邏輯推理能力。,,,在內(nèi)容上。不僅要有數(shù)學(xué)的結(jié)果，也要有結(jié)果形成的緣由；不僅有間接經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也要有直接經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)； 不僅有抽象的概念和法則，也要有直觀的說(shuō)明和啟迪。在教學(xué)上。要注重啟發(fā)式教學(xué)，運(yùn)用各

14、種教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)造足夠的時(shí)間和空間，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，并且鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流，在獨(dú)立思考、以及與他人交流的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，引導(dǎo)學(xué)生自己得到結(jié)論（畫(huà)角平分線）。在評(píng)價(jià)上。不能短時(shí)間，三年或者六年。記憶的短期效能。,數(shù)學(xué)思想：抽象、推理、模型 數(shù)學(xué)思想不是知識(shí)，不能靠傳授、而要靠在學(xué)習(xí)知識(shí)和技能 的過(guò)程中感悟。學(xué)習(xí)思考、學(xué)會(huì)做事是一種經(jīng)驗(yàn)的積累。如何感悟？如何積累？抽象：代數(shù)數(shù)的認(rèn)識(shí)：數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽

15、象，認(rèn)識(shí)數(shù)有兩種方法：對(duì)應(yīng)、定義。 對(duì)應(yīng)方法：三個(gè)蘋(píng)果、三只雞 → □□□ ←→ 3 定義方法：一個(gè)一個(gè)多起來(lái)（后繼數(shù)、皮亞諾算術(shù)公理體系）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，…,,,對(duì)于基本概念的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，設(shè)計(jì) 對(duì)應(yīng)的方法、或者、定義的方法如何認(rèn)識(shí) 10000。10個(gè)1000？比9999多1？可以采用定義的方法。如何認(rèn)識(shí) 負(fù)數(shù)。用

16、數(shù)軸定義？用相反數(shù)定義？可以采用對(duì)應(yīng)的方法。,抽象：幾何,空間與圖形 → 圖形與幾何幾何：空間的度量點(diǎn)、線、面的抽象0 維是點(diǎn)、1 維是線、2 維是面、3 維是體。日常生活看到的幾何圖形都是三維的，點(diǎn)線面是抽象的。,抽象,角的抽象教科書(shū)：角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形?！?稱(chēng)下面的圖形為角。角由兩條線段所夾部分組成，這兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)重合。稱(chēng)這兩條線段為角的邊，角的大小與邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。,抽象,抽象的小結(jié)

17、 功能：得到研究對(duì)象與基本術(shù)語(yǔ)。 數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是通過(guò)邏輯關(guān)系，用基本術(shù)語(yǔ)述說(shuō)研究對(duì)象 的性質(zhì)、以及研究對(duì)象之間的關(guān)系。 數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系。 結(jié)果：形成概念（自然數(shù)、負(fù)數(shù)、點(diǎn)、線、面、體、角） 形成關(guān)系（數(shù)的大小關(guān)系，點(diǎn)、線、面之間關(guān)系） 形成法則（由加法開(kāi)始的四則運(yùn)算，極限運(yùn)算） 存在

18、：抽象的 2 是不存在，只有具體的兩匹馬、兩頭牛。 抽象的東西是理念的存在，比如圓、比如鄭板橋所說(shuō) 我畫(huà)的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,,推理：數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴(lài)的是邏輯推理數(shù)學(xué)的結(jié)論都是命題數(shù)學(xué)命題：可供是否判斷的陳述，命題本身不具備判斷功能 1. 可以判斷。下面陳述不是數(shù)學(xué)命題

19、 這個(gè)三角形是美的 2. 僅供判斷。下面兩個(gè)陳述都是數(shù)學(xué)命題 三角形內(nèi)角和180度 三角形內(nèi)角和120度推理的兩種形式直接推理：對(duì)命題的直接判斷。一般推理：一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過(guò)程。,推理,邏輯推理 命題的內(nèi)涵之間存在一條主線 凡人都有死。蘇格拉底是人。蘇格拉底有死。非邏輯推理 命題的內(nèi)涵之

20、間不存在一條主線 蘋(píng)果是酸的，酸是一種味道，蘋(píng)果是一種味道。兩種邏輯推理 演繹推理：命題內(nèi)涵由大到小。從一般到特殊。 歸納推理：命題內(nèi)涵由小到大。從特殊到一般。,演繹推理,演繹推理需要前提：公理或者假設(shè)?！皥D形與幾何”有 8 個(gè)基本事實(shí)。關(guān)于相似形的基本事實(shí)?！皵?shù)與代數(shù)”應(yīng)當(dāng)有至少 2 個(gè)基本事實(shí)?；臼聦?shí) 1： 等式（不等式）具有傳遞性。 a = b (a

21、﹥ b），b = c (a ﹥ b） → a = c (a ﹥ c）基本事實(shí) 2：等式（不等式）兩邊加減相同的量不變。 a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c） a - c = b - c (a - c ﹥ b - c）亥姆霍

22、茲：40度的水 + 50度的水 = 90度的水 ？ 勒貝格：1只獅子 + 1只兔子 = 2只動(dòng)物 ？,,加法定義：兩個(gè)有理數(shù)相加，如果符號(hào)相同，取相同的符號(hào)， 和為兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值的和；如果符號(hào)不同，當(dāng)兩個(gè) 數(shù)的絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào)，和 為兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值的差。相反數(shù)的和為零。在許多實(shí)例的基礎(chǔ)上得到基本感悟：加一個(gè)整數(shù)比原來(lái)的數(shù)大。 加一個(gè)負(fù)

23、數(shù)比原來(lái)的數(shù)小。然后給與驗(yàn)證。,,命題：加上一個(gè)負(fù)數(shù)等于減去這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)。推論：加上一個(gè)負(fù)數(shù)等于減去一個(gè)正數(shù)。 加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來(lái)的數(shù)小。用數(shù)學(xué)符號(hào)表示命題： b > 0，a + (-b) = a - b令 x = a + (-b)。等式分別兩邊分別加上 b ，由基本事實(shí) 2和相反數(shù)定義，得到： x + b = a + (-b) + b = a上面等式的兩邊同時(shí)減去b，再由基本

24、事實(shí) 2，得到： x + b – b = a – b因?yàn)橥瑯拥臄?shù)相減為 0，得到：x = a – b由基本事實(shí) 1，得到：a + (-b) = a - b,,,演繹推理,演繹推理只能用來(lái)驗(yàn)證知識(shí)，不能用來(lái)發(fā)現(xiàn)知識(shí)。論證問(wèn)題的形式是： 已知 A 求證 B其中 A 和 B 都是確定性命題，沒(méi)有新的知識(shí)發(fā)現(xiàn)知識(shí)需要下面兩個(gè)能力： 從條件預(yù)測(cè)結(jié)果的

25、能力，從結(jié)果探究成因的能力因此，需要?dú)w納推理：從經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的東西,歸納推理,,歸納推理,發(fā)現(xiàn)規(guī)律 在證明√2 為無(wú)理數(shù)時(shí)用到一個(gè)結(jié)果： 只有偶數(shù)的平方才能為偶數(shù)。包含兩個(gè)結(jié)論 偶數(shù)的平方為偶數(shù)（有）： 2×2 = 4，4×4 = 8，12×12 = 144 奇數(shù)的平方為奇數(shù)（只有）：

26、 3×3 = 9，5×5 = 25，11×11 = 121然后再證明 2a × 2a = 偶數(shù) (2a + 1)×(2a + 1) = 奇數(shù),,歸納推理類(lèi)比的方法：幾何比如，距離：1維空間 → n 維空間 1維空間： d1(x,0) = √(x12) 2維空間： d2(x

27、,0) = √(x12 + x22) 3維空間： d3(x,0) = √(x12 + x22 + x32) ………… n維空間： dn(x,0) = √(x12 + … + xn2)比如，命題：正方形 → 正多邊形 → 所有凸圖形 給定周長(zhǎng)，四邊形中正方形面積最大。 給定周長(zhǎng)，三邊形中等邊三角形面積最大。

28、 給定周長(zhǎng)，五邊形中正五邊形面積最大?！瓟?shù)學(xué)是邏輯推理：歸納推理 + 演繹推理。數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密性。,,模型：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事 是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁 抽象：現(xiàn)實(shí)→數(shù)學(xué)；推理：數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)；模型：數(shù)學(xué)→現(xiàn)實(shí)義務(wù)教育階段，主要有兩個(gè)模型總量模型（加法） 總量 = 部分 + 部分 → 部分 = 總量 – 部分 現(xiàn)在 = 過(guò)去 + 變化 → 變化 = 現(xiàn)在 – 過(guò)去路程

29、模型（乘法） 路程 = 速度 × 時(shí)間 → 時(shí)間 = 路程/速度 總價(jià) = 單價(jià) × 個(gè)數(shù) → 個(gè)數(shù) = 總價(jià)/單價(jià)可以考慮：植樹(shù)模型，工程模型，二項(xiàng)模型（統(tǒng)計(jì)）,,,,統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的區(qū)別 1. 研究基礎(chǔ)不同 數(shù)學(xué)：定義，假設(shè)；統(tǒng)計(jì)：數(shù)據(jù)。 2. 研究方法不同 數(shù)學(xué)：演繹推理；統(tǒng)計(jì)：歸納推理。 3. 結(jié)果評(píng)價(jià)不同 數(shù)學(xué)：對(duì)錯(cuò)；統(tǒng)計(jì)：好壞。1. 研究

30、基礎(chǔ)不同 某小學(xué)男同學(xué)，對(duì)香港演員不是喜歡成龍就是喜歡周星馳。 用0表示周星馳，用1表示成龍。函數(shù)：1-3年喜歡周星馳；4-6喜歡成龍。 f(x) = 0，當(dāng) x = 1，2，3；f(x) = 1，當(dāng) x = 1，5，6。概率：已知喜歡周星馳的為 1/3。 p(x=0) = 1/3；p(x=1) = 2/3。統(tǒng)計(jì)：調(diào)查 n 個(gè)

31、同學(xué)，有 m 個(gè)同學(xué)喜歡周星馳。估計(jì) p(x=0) = p = m/n。,,2. 研究方法不同 什么是平均數(shù)。數(shù)學(xué)：是一種含有加法和除法的運(yùn)算。統(tǒng)計(jì)：是一種估計(jì)的方法。 比如測(cè)量。a為真值；x為測(cè)量值；ε為誤差。 x = a + ε n 次測(cè)量，得到 x1 = a

32、+ ε1 …… xn = a + εn x1 + …… +xn = na + ε1 + …… +εn，ε為隨機(jī)誤差：ε1+ …… +εn = 0， 則用樣本平均（x1 + …… +xn）/n 估計(jì)真值 a。,,3. 結(jié)果評(píng)價(jià)不同 用 m/n 估計(jì)概率好不好？ 繼續(xù)考慮前一個(gè)問(wèn)題。如果

33、只調(diào)查了2名同學(xué)，這兩名同學(xué)都喜歡周星馳，則 m/n = 2/2 = 1。不合理。 其他的估計(jì)方法，比如，貝葉斯的方法： 用(m+1)/(n+2)估計(jì)概率，則 (2+1)/(2+2) = 3/4 比較合理。 因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)研究用那種方法更好。,,如果在我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中 一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核，一方面又添加了“基本思想”和“基

34、本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，必將會(huì)出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式。就必將會(huì)出現(xiàn)“外國(guó)沒(méi)有的我們有，外國(guó)有的我們也有”的局面，到了那一天，我們就能自豪地說(shuō)，中國(guó)的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界。,,謝謝！,,過(guò)去教育的核心：傳授知識(shí)、訓(xùn)練技能。 知識(shí)是什么？知識(shí)是一種結(jié)果：思考的結(jié)果、經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果。因此，單純傳授知識(shí)的教育是結(jié)果的教育。

35、 還缺少什么？缺少智慧的教育：智慧表現(xiàn)在過(guò)程之中（直覺(jué)、直觀）因此，智慧的教育需要過(guò)程的教育。 “關(guān)于教育的哲學(xué)”，《教育研究》1998年10期“試論教育的本原”，《教育研究》2009年 8期,,對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，智慧的含義是什么？ 能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 + 會(huì)思考問(wèn)題 + 會(huì)解決問(wèn)題能發(fā)現(xiàn)、會(huì)思考、會(huì)解決不是教師教授的結(jié)果，是經(jīng)驗(yàn)的積累。

36、 經(jīng)驗(yàn)是在過(guò)程中積累的。因此，教師要設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)：讓學(xué)生參與其中， 讓學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程 通過(guò)自己的思考積累思維的經(jīng)驗(yàn),,,學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教育價(jià)值是什么？ 能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 + 學(xué)會(huì)思考問(wèn)題 ：建立起學(xué)科直觀教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適情境。不僅僅是為了知道數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，還要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是如何抽象、是如何解釋現(xiàn)實(shí)世界的。

37、創(chuàng)設(shè)的情境要符合實(shí)際，符合學(xué)生的思維能力。老師要提出恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題。引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考。學(xué)生思考討論發(fā)表結(jié)果，教師必須進(jìn)行總結(jié)。 不僅看結(jié)果，也要分析思維過(guò)程（荷葉上的青蛙）這就是幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)：思維的經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn),,,函數(shù)是初中和高中代數(shù)最為核心的內(nèi)容。初中教材關(guān)于函數(shù)定義：兩個(gè)變量x與y，對(duì)于給定的x值都有唯一的y值與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，表示為y = f(x)。

38、 y = √x ？變量說(shuō) 對(duì)于兩個(gè)變量x與y，當(dāng)x變化時(shí)y值也隨之變化，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，表示為y=f(x)。對(duì)應(yīng)說(shuō) 有兩個(gè)集合A和B，對(duì)于任意x∈A，B中都存在唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)。稱(chēng)A為定義域，B為值域。變量說(shuō)的不足 過(guò)分強(qiáng)調(diào)變化關(guān)系，沒(méi)有指名定義域和值域。 f(x) = shi2x + cos2x，g(x) = 1。 f(x) = g(x) ? 對(duì)應(yīng)說(shuō)的

39、不足 需要引進(jìn)集合的概念。,,,改造于《九章算術(shù)》方程篇第八題。在漢朝的時(shí)候，有一個(gè)人做了三次牲畜買(mǎi)賣(mài)，收支情況如下： 第一次 賣(mài)牛收入24錢(qián)，賣(mài)羊收入25錢(qián)，買(mǎi)豬支出39錢(qián)，合計(jì)收入10錢(qián)； 第二次 賣(mài)牛收入36錢(qián)，買(mǎi)羊支出45錢(qián)，賣(mài)豬收入90錢(qián)，合計(jì)收支相當(dāng)； 第三次 買(mǎi)牛支出60錢(qián)，賣(mài)羊收入30錢(qián)，賣(mài)豬收入24錢(qián)，合計(jì)支出6錢(qián)。如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)？,,文字形式 牛

40、 羊 豬 合計(jì)第一次 收入24 收入25 支出39 收入10第二次 收入36 支出45 收入90 0第三次 支出60 收入30 收入24 支出6數(shù)字形式 牛 羊 豬 合計(jì)第一次 24 25

41、 -39 10第二次 36 -45 90 0第三次 -60 30 24 -6負(fù)數(shù)與自然數(shù)：數(shù)量相等（絕對(duì)值）、意義相反。,,,如何理解方程？教科書(shū)定義：把含有未知數(shù)的等式叫做方程。 合適嗎？如何定義等式？通常理解：等式是含有等

42、號(hào)的式子。 如何理解等號(hào)？等號(hào)功能有兩種功能： 傳遞性 比如表示計(jì)算結(jié)果：1 + 1 = 2 與此對(duì)應(yīng)：x + x = 2x 是方程嗎？ 量相等 比如現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題：如何教加法？,,如何認(rèn)識(shí) 3 + 1 = 4 ？教科書(shū) □□□ ← □ 為什么？加法是一種對(duì)應(yīng)，表示量相等 □□□ □□□□

43、 哪一組多？ □□□ ←□ □□□□ 哪一組多？ 3 + 1 = 4感悟“加”的意義，感悟“相等”的意義,,畫(huà)角平分線不是為了學(xué)會(huì)技能，而是為了培養(yǎng)想象力。,,,,,基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短。平面上的線段（距離）：歐幾里得幾何球面上的線段（距離）：黎曼幾何 北京和紐約都在北緯40度 沿