[學習]分析力學講義ppt課件chap6低速宏觀運動規(guī)律的正則形式

1、第六章 低速宏觀運動規(guī)律的正則形式運動規(guī)律的表述形式：牛頓形式、拉格朗日形式、 哈密頓形式、泊松括號形式對于拉格朗日形式，有1.力學系統(tǒng)的描述：2.拉格朗日方程：,3. 缺點：方程中 地位不平等 力學系統(tǒng)的描述改為： (廣義坐標)、 (廣 義動量) ：有共軛關(guān)系(獨立、平等、成對

2、)。用這一 對變量深刻反映了運動本質(zhì)，且可得到更 為對稱的運動方程 —— 正則方程。 §1.6.1 哈密頓方程 一、勒讓德變換 (將 ),,設(shè)：f = f (x,y)——關(guān)于兩個變量的二元函數(shù)則

3、 又 兩式相減 ——關(guān)于x、Q 變量的全微分 (勒讓德變換),,變換后的函數(shù)：g = f – Qy Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：由 Q=Q(x,y

4、) 解出y=y(x,Q) f = f (x,y) f = f (x,Q)因此 g = f – Qy = g(x,Q)說明：1. (1)、(2)兩式相減的另外一種結(jié)果為 d (Qy – f ) =

5、ydQ–Pdx (本質(zhì)上與前面無差別),,,2. 若要將變量 x 變?yōu)?P，則上兩式相減這樣,,,3.對于df = Pdx + Qdy 用Q取代 y，則將df 中的dy 前面的Q乘以被取代的y，再減去原函數(shù) f ；用P取代x，則將df 中的dx前面的P乘以被取代的x，再減去原函數(shù) f。4. f = f (x,y,z)——關(guān)于三個變量的函數(shù)(可推廣到N元函數(shù)) 要將 x、y、z → x、Q、R，采

6、用與前面一樣的方法，有,,二、哈密頓函數(shù)設(shè) ，t ——固定參量則,,而廣義動量為拉格朗日方程為而 (上式中 不對稱),,,,目的：作勒讓德變換 ——哈密頓函數(shù)

7、得又,,,,與 比較得：H就是系統(tǒng)的能量E。在 中，H只是 的函數(shù)一般情況：三、哈密頓方程由 H=H(q, p) 得到,比較于是有 ——哈密頓方程 (正則方程,系統(tǒng)的運動方程),說明1. 數(shù)學上：哈密頓形式

8、上為一階微分方程 (2S個)，而 拉格朗日形式上為二階微分方程——簡化數(shù)學計算 (尤其對于數(shù)值計算)； 2. 哈密頓方程中， 地位同等——相互共軛的正 則變量、 兩者差別消失，可建立相空間(見后)；3. 哈密頓正則形式對稱，有利于從經(jīng)典力學到量子力 學的過渡；4. 循環(huán)坐標：若 是拉格朗日函數(shù)的循環(huán)坐標，同時 也是哈密頓函數(shù)的循環(huán)坐標，反之亦然。但是，,也可以是哈密

9、頓函數(shù)的循環(huán)坐標。而循環(huán)坐標與守恒量密切相關(guān)，力學規(guī)律采用哈密頓形式或者后面的泊松括號形式，更容易找到守恒量。另外，采用哈密頓形式時，若 是循環(huán)坐標，則與其共軛的變量 守恒。此時，從變量的角度講，系統(tǒng)減少了一對變量，從系統(tǒng)自由度的角度講，自由度由S減為(S-1)。如有心力問題中， 是循環(huán)坐標，則 守恒，因此在哈密頓函數(shù)中，這一對變量均不出現(xiàn)。由以下表達式也很容易看到這一點：,5 . 提供了一個形式簡潔而又完善的

10、統(tǒng)一的運動微分方程。 6 . 有時，并未直接減少求解給定力學問題的困難程度。 因為求解哈密頓正則方程歸根到底仍是求解拉格朗 日方程。,四、最小作用量原理已講：由最小作用量原理導出拉格朗日方程現(xiàn)在：由最小作用量原理導出哈密頓方程因為 ， 所以 將L代入作用量

11、 ，得,而,極值條件：又 互相獨立，所以,,即 ——哈密頓方程五、相空間定義：僅由廣義坐標 形成的空間叫位形空間； 由 這一對共軛變量形成的空間叫相空間。 在任一時刻t，當給定位形空間中一點的r(t)，不能確定質(zhì)點的運動。為了決定質(zhì)點的運動，還必須知道這一時刻位矢的導數(shù) ，而這意味著需

12、要知道相鄰時刻的r(t)。位形空間：位置狀態(tài)；相空間：運動狀態(tài)。,要使得給定空間中的一點能完全決定質(zhì)點的運動，將3個坐標分量 和3個動量分量 合在一起，形成一個6維歐氏空間，稱為這一質(zhì)點的相空間。這樣，給定相空間中的一點，就完全決定了質(zhì)點的運動。 質(zhì)點在相空間中的代表點隨時間t的變化所描出的曲線稱為質(zhì)點的相軌跡。對于周期運動，相軌

13、跡是閉合曲線 (例如一維諧振子的相圖)。,§1.6.2 守恒律 泊松括號 (Poisson Bracket) 一、力學量對時間的導數(shù) 哈密頓形式下， ——力學系統(tǒng)的狀態(tài)力學量用 來表示的例子：一維線性諧振子2. 粒子的能量、角動量,設(shè) f —力學系統(tǒng)的任意力學量，則一般情況：f = f (p,q,t)，則由哈密頓方程,定義：H 和 f 的泊松括號

14、 ——用泊松括號表示的力學量隨時間的演化方程,,,說明1. 用泊松括號，可以使任一力學量隨時間的變化方 程表述得非常簡潔；2. 泊松括號形式很容易過渡到量子力學：量子泊松 括號。量力泊松括號到經(jīng)典泊松括號的過渡參見 曾謹言《量子力學》下冊p464-p466，或參見教材 p464。,二、用泊松括號表示出的運動方程因為1. ——f 中不顯含

15、時間，只含則2. ——f 中不顯含時間，只含,,則即 ——用泊松括號表示的運動方程 實際上,三、能量守恒與動量守恒設(shè) f = f (p, q)不顯含時間t，即則又若 f 守恒 ——不顯含時間t的力學量守恒的充分必要

16、 條件是它和H的泊松括號等于零,,若：H不顯含時間t，則H是守恒量——能量守恒循環(huán)坐標：在拉格朗日函數(shù)中不包含的某一廣義坐標1.設(shè)H不包含某一廣義坐標 ，則 ——與循環(huán)坐標 對應(yīng)的廣義動量 守恒,,,2.設(shè)H不包含 ，則

17、 因此，廣義動量也稱為循環(huán)坐標。 這樣，在哈密頓表述中，廣義坐標概念被推廣， 地位相等，廣義動量也可視為廣義坐標。,,,四、泊松括號的性質(zhì)設(shè)任意兩個函數(shù) f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t)定義：f 和 g的泊松括號為泊松括號的重要性質(zhì)1. 基本的泊松括號(由正則變量組成),2. 反對易性3. 分配律4. 結(jié)合

18、律5. 若c為常量，則6. 求導運算,x：時間、廣義坐標、廣義動量等變量7. 線性性質(zhì)8. 雅可比關(guān)系附：量子泊松括號和海森堡繪景下的運動方程1. 設(shè)有算符 ，則量子泊松括號為,§1.6.3 正則變換 一、正則變換1. 目的： 找到一坐標系，使得在該系下，循環(huán)坐標多；2. 正則變換的涵義：廣義坐標為 ，是決定系統(tǒng)中

19、所有質(zhì)點位置的獨立變量。設(shè) 為 的單值可逆函數(shù)，即,2. 在海森堡繪景下的運動方程為,決定 ，即決定了系統(tǒng)中所有質(zhì)點的位置 也是廣義坐標 ( ：均在位形空間) 是 之間的變換 例：笛卡爾坐標和球坐標之間的關(guān)系

20、 就是這種變換。,,,,,都是廣義坐標。笛卡爾坐標和柱坐標之間的關(guān)系也是這種變換。 變換表示廣義坐標的選取不唯一。對拉格朗日形 式、哈密頓表述都如此但：在哈密頓表述中， 地位平等，坐標和動量已 失去其原有的意義。 尋找更廣泛的變換,,(相空間中的坐標變換),,,,在變換中， 中同時包含當 時，哈密頓函數(shù)使得

21、 (變中有不變)此時稱 為正則變換變換的結(jié)果,問題的關(guān)鍵：尋找正則變換二、正則變換的生成函數(shù)由變分原理，有類似地,,由前面變分原理的兩個表達式可得：兩個被積函數(shù)相差一個任意函數(shù)F 對時間的全導數(shù)，即事實上而在端點處,,(1)式中的F 稱為正則變換的生成函數(shù)，即

22、 ——4S+1個變量其中： ——2 S個方程除去時間變量外， 有2S個獨立變量。例

23、子：對于二維運動，可選直角坐標x、y，還可選極坐標 ，或 、 ，即可在這四個變量中任選兩個作為函數(shù)的自變量。此外，還可在相空間中選擇。,,選F1 = F1(q, Q, t)，則比較,,F 有以下四種形式，即,,即又：若給定F1，則,,,因為且有恒等式,,所以令F1 = F1(q, Q, t)中的Q：,,又 F2 = F2 (q, P, t)而比較得,

24、,若給定F2 = F2 (q, P, t)則同理：,,,,三、正則變換舉例1. 由F2 = F2 (q, P, t)生成的變換設(shè)因所以,,,——恒等變換2. 由F1 = F1(q, Q, t)生成的變換設(shè)因所以,結(jié)論：老的廣義動量 新的廣義動量 老的廣義坐標 新的廣義動量 (相差一負號) ——坐標、動量平等&