robotics 數(shù)學基礎(chǔ)

1、機器人動力學Dynamics of Robotics,研究機器人的運動特性與力的關(guān)系。有兩類問題：動力學正問題：已知機械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度、運動軌跡；動力學逆問題：已知機械手的運動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力和力矩。,機器人動力學Dynamics of Robotics,4.1 機器人剛體動力學 (復(fù)習加深理論力學內(nèi)容)4.2 機械手動力學方程 (

2、Lagrange法)4.3 機械手動力學方程實例 (二桿、三桿機械手)4.4 機器人的動態(tài)特性4.5 機械手的穩(wěn)態(tài)負荷,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理絕對運動：相對于定坐標系的運動相對運動：相對于動坐標系的運動牽連運動：動坐標相對于定坐標運動絕對運動方程：在定坐標系中的運動方程相對運動方程：在動坐標系中的運動方程牽連運動方程：動坐標系在定坐標系中的運動方程,Ro

3、botics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理絕對運動速度：在定坐標系中的運動速度相對運動速度：在動坐標系中的運動速度牽連運動速度：動坐標系在定坐標系中的運動速度絕對運動加速度：在定坐標系中的運動加速度相對運動加速度：在動坐標系中的運動加速度牽連運動加速度：動坐標系在定坐標系中的運動加速度當牽連速度為平動時，當牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時，,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1

4、.0 動力學基本定理Lagrange方程T:系統(tǒng)動能；qi:廣義坐標；Qi:對應(yīng)于廣義坐標的廣義力當主動力為勢力時，方程變?yōu)椋?L:Lagrange函數(shù),Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理當主動力中有非勢力時： Qj:為非勢的廣義力當含有粘性阻尼時，方程變?yōu)椋?

5、 ，Φ：瑞利耗三散函數(shù),Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理例：圖示為振動系統(tǒng)方程1。動能2。勢能,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理3。耗散函數(shù)4。拉格朗日函數(shù),Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.0 動力學基本定理對每個廣義坐標寫出拉格朗日方程

6、將上述結(jié)果代入，得下面將K、P、D、W等表示動能、勢能、耗散函數(shù)、外力做的功,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.1 機械手的動能與勢能考慮重力時:當 時,取 為廣義坐標，有,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.1 機械手的動能與勢能當 ， 都為廣義坐標，有從以上兩個例子看出，求取動力學方程的關(guān)鍵是求出各能量函數(shù)K、P、D、

7、W的廣義坐標表達式。,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.1 機械手的動能與勢能兩桿機器人如圖。對連桿1：對連桿2：,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.1 機械手的動能與勢能二桿動能和勢能分別為：,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.2 機械手動力學方程的求法系統(tǒng)的總動能和勢能及拉格朗日函數(shù)分別為：分別求得注意：這里只求顯

8、因變量的偏導(dǎo)數(shù),Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.2 機械手動力學方程的求法代入拉格朗日方程,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.2 機械手動力學方程的求法寫成矩陣有： 慣性力 向心力 哥式力 重力,Robotics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.2 機械手動力學方程的求法當考慮關(guān)節(jié)摩擦阻尼時,Robot

9、ics 動力學,4.1 機器人剛體動力學4.1.2 機械手動力學方程的求法當考慮關(guān)節(jié)摩擦阻尼時,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程本節(jié)將以右圖為例，研究由A矩陣描述的機械手的動力學方程建立的一般步驟：1。計算任一連桿上任意一點的速度；2。計算各連桿的動能和機械手的總動能；3。計算各連桿的位能和機械手的總位能；4。建立機械手系統(tǒng)的拉格郎日函數(shù)；5。對拉格郎日函數(shù)求導(dǎo)，得到動力學方程。,Robotics

10、動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.1 速度的計算圖中，連桿3上P點的位置為：0rp為基坐標系中P的位置矢量；3rp為桿3坐標系中P的位置矢量（原點O3）；T3桿3的位姿矩陣；（即P點在上述兩坐標 系中坐標之間的變換矩陣。）對任一連桿i上的一點，其位置為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.1 速度的計算所以，P點的速度為為何不對r求導(dǎo)？對任一連桿i上的一點，其速度為,Ro

11、botics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.1 速度的計算P點的加速度為對任一連桿i上的一點，其加速度為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.1 速度的計算P點速度的平方為對任一連桿i上的一點，其速度平方為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算桿3上P點質(zhì)量為dm的微元，其動能為：對任一連桿i上的質(zhì)量為dm點，

12、其動能為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算桿3的動能為：記 ，并稱之為連桿3的偽慣量矩陣，則對任連桿i，其動能為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算偽慣量矩陣I的一般形式為：,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算則具有n個連桿的機械手的連桿總動能為：

13、考慮傳動裝置的慣量，所有傳動裝置的總動能為：系統(tǒng)的總動能為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算位能：質(zhì)量m,高h的物體，其位能為連桿i上位置 的質(zhì)量dm的微元，其位能為連桿i的總位能為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.2 動能和位能的計算系統(tǒng)的總位能為式中， 為連桿i的質(zhì)量； 為連桿i對其前端關(guān)節(jié)坐標

14、系的重心位置。,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的推導(dǎo)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的推導(dǎo),Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的推導(dǎo)系統(tǒng)的動力學方程為,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的推導(dǎo),Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4

15、.2.3 動力學方程的簡化1。慣量項的簡化 利用記微分旋轉(zhuǎn)和平移為：通過計算有： 為質(zhì)心矢量， 為與慣量相關(guān)的矩陣，具有如下形式。,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的簡化1。慣量項的簡化當i=j時，有,Robotics 動力學,4.2 機械手動力學方程4.2.3 動力學方程的簡化2。重力項的簡化將 代入,Rob

16、otics 動力學,4.3 機械手動力學方程實例4.3.1 二連桿機械手動力學方程,Robotics 動力學,4.3 機械手動力學方程實例4.3.1 二連桿機械手動力學方程以 為基準，有以 為基準，有以 為基準，有,Robotics 動力學,4.3 機械手動力學方程實例4.3.1 二連桿機械手動力學方程 設(shè)所有慣性力矩為零， 為零。 有此結(jié)果與4.1.2中的一

17、致。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性 動態(tài)特性指：工作精度、重復(fù)能力、穩(wěn)定性、空間分辨率4.4.1 概述 快速、準確、定位的能力； 過塊：精度差，（慣性影響） 過慢：效率低對工業(yè)機器人，采用中繼點來減少慣性影響。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.2 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性指系統(tǒng)、裝置或工具運動過程中，無振蕩問題。對機械系統(tǒng)主要有系統(tǒng)的自激振動；對

18、電子系統(tǒng)，主要指其自激振蕩；對機器人系統(tǒng)，除上述兩者外，還有其機電耦合振蕩。如機械手的抖動。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.3 空間分辨率 空間分辨率是描述機器人工具末端運動所達到的最小運動增量。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.4 精度 用下列三個因素的集合來描述精度1）各控制部件的分辨率；2）各機械部件的偏差；3）最近到達點距目標位置的差；,Robotic

19、s 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.4 精度 示教時，精度只與機械偏差有關(guān)； 離線編程時，與分辨率、機械偏差、接近能力有關(guān)。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.5 重復(fù)性 指機器人重復(fù)到達某一位置的能力。,Robotics 動力學,4.4 機械手動態(tài)特性4.4.5 重復(fù)性 指機器人重復(fù)到達某一位置的能力。幾個概念的區(qū)別：1）空間分辨率描述機器人所能控制的末端工具的

20、最小運動增量2）精度指一定分辨率下，機器人對某目標的接近能力；3）重復(fù)性描述機器人重復(fù)到達同一目標時實際的位置誤差；4）一般重復(fù)性比精度好。,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷解決： 1。靜力和力矩的表示方法； 2。不同坐標系間，靜負荷的變換； 3。確定機械手靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩； 4。由關(guān)節(jié)力矩確定機械手所載物體的重量。,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷4.5.1 靜力和力矩的表

21、示方法 廣義力F 例：,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷4.5.2 不同坐標系間靜力的變換 采用虛位移原理，研究靜力作用在不同坐標系中的描述問題。已知：在A坐標系中的作用力表示為： 表示虛位移的微分運動矢量為： 已知C坐標系到A坐標系的坐標變換；求：在C坐標系中的作用力CF 。 F所做虛功為： 在C坐

22、標系中做的虛功為：,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷4.5.2 不同坐標系間靜力的變換 即： 由微分變換的等價關(guān)系式（3-97），有或記為：,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷4.5.2 不同坐標系間靜力的變換從而有 經(jīng)變換有,Robotics 動力學,4.5 機械手的靜態(tài)負荷4.5.3 關(guān)節(jié)力矩的確定 設(shè)作用于作用于機器人末端T6桿上的力所做的虛功