高一零點(diǎn)問題的解題方法

1、1課題課題談函數(shù)與方程談函數(shù)與方程(零點(diǎn)問題零點(diǎn)問題)的解題方法的解題方法——解題技能篇從近幾年高考試題看，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題是高考的熱點(diǎn)，題型主要以選擇題、填空題為主，難度中等及以上主要考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程的思想(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理(函數(shù)零點(diǎn)的判定函數(shù)零點(diǎn)的判定)若函數(shù)

2、y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解也可以說：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根

3、[提醒]此定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(3)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系幾個(gè)等價(jià)關(guān)系函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝0(即x軸)有交點(diǎn)推廣：函數(shù)y＝f(x)－g(x)有零點(diǎn)?方程f(x)－g(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象與y＝0(即x軸)有交點(diǎn)推廣的變形：函數(shù)y＝f(x)－g(x)有零點(diǎn)?方程f(x)＝g(x)有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)有交點(diǎn)1函數(shù)

4、的零點(diǎn)是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)嗎？是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)？提示：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點(diǎn)2若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定有f(a)f(b)03若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)f(b)0成立，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)

5、嗎？3＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln3－＞0，∴f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1，2)12【答案】B3函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________【解析】求函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)，可以大致估算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函數(shù)f

6、(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2，3)內(nèi)，故n＝2【答案】24(2015長(zhǎng)沙模擬)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)【解析】本題考查零點(diǎn)的存在性定理依題意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(

7、c－a)＞0，因此由零點(diǎn)的存在性定理知f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)【答案】A5(2014高考湖北卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()A1，3B－3，－1，1，3C2－，1，3D－2－，1，377【解析】令x＜0，則－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x求函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)等價(jià)

8、于求方程f(x)＝－3＋x的解當(dāng)x≥0時(shí)，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；當(dāng)x＜0時(shí)，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7【答案】D確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)＜0若有，則函數(shù)y＝f(x