全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

1、智浪教育普惠英才文庫120062006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：明：1評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次.一、選

2、擇題(本題滿分36分，每小題6分)1已知△ABC，若對任意t∈R，≥，則△ABC一定為|→BA－t→BC||→AC|A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D答案不確定答C解：令∠ABC＝α，過A作AD⊥BC于D，由≥，推出|→BA－t→BC||→AC|－2t＋t2≥令t＝，代入上式，得|→BA|2→BA→BC|→BC|2|→AC|2→BA→BC|→BC|2－2cos2α＋cos2α≥，即sin2α≥|→BA|2|→BA|2|→BA|2|→

3、AC|2|→BA|2|→AC|2也即sinα≥從而有≥由此可得∠ACB＝|→BA||→AC||→AD||→AC|π22設(shè)logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，則x的取值范圍為A＜x＜1Bx＞且x≠1Cx＞1D0＜x＜11212答B(yǎng)解：因為，解得x＞且x≠1由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，x＞0，x≠12x2＋x－1＞0)12?logx(2x3＋x2－x)＞logx2?或解得0＜x＜1或x＞10＜x＜1，2x3＋x2－

4、x＜2)x＞1，2x3＋x2－x＞2)所以x的取值范圍為x＞且x≠1123已知集合A＝x|5x－a≤0，B＝x|6x－b＞0，a，b∈N，且A∩B∩N＝2，3，4，則整數(shù)對(a，b)的個數(shù)為A20B25C30D42答C智浪教育普惠英才文庫37.設(shè)f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，則f(x)的值域是填[0，]98解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－sin2x－sin22x令t＝sin2x，則121

5、2f(x)＝g(t)＝1－t－t2＝－(t＋)2因此g(t)＝g(1)＝0，g(t)＝g(－1212981212－1≤t≤1min－1≤t≤1max)＝1298故，f(x)∈[0，]988.若對一切θ∈R，復(fù)數(shù)z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超過2，則實數(shù)a的取值范圍為填[－，]5555解：依題意，得|z|≤2?(a＋cosθ)2＋(2a－sinθ)2≤4?2a(cosθ－2sinθ)≤3－5a2?－2asin(θ－φ)

6、≤3－5a2(φ＝arcsin)對任意實數(shù)θ成立555?2|a|≤3－5a2?|a|≤，故a的取值范圍為[－，]55555559已知橢圓＋＝1的左右焦點分別為F1與F2，點P在直線l：x－y＋8＋2＝0上.當(dāng)∠F1PF2x216y2433取最大值時，比的值為|PF1||PF2|填－1.3解：由平面幾何知，要使∠F1PF2最大，則過F1，F(xiàn)2，P三點的圓必定和直線l相切于點P直線l交x軸于A(－8－2，0)，則∠APF1＝∠AF2P，即?

7、APF1∽?AF2P，即3＝⑴|PF1||PF2||AP||AF2|又由圓冪定理，|AP|2＝|AF1||AF2|⑵而F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，A(－8－2，0)，從而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43333代入⑴，⑵得，＝＝＝＝－1|PF1||PF2||AF1||AF2|88＋434－23310底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個半徑為cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球12與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面