開(kāi)普勒三定律的數(shù)學(xué)證明

1、第1頁(yè)，共5頁(yè)開(kāi)普勒三定律的數(shù)學(xué)證明開(kāi)普勒三定律的數(shù)學(xué)證明摘要：要：本文依次對(duì)開(kāi)普勒第二，第三和第一定律進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，并用物理學(xué)中角動(dòng)量守恒的方法對(duì)開(kāi)普勒第二定律進(jìn)行證明。關(guān)鍵字：關(guān)鍵字：開(kāi)普勒定律；角動(dòng)量守恒MathematicalProofsofKepler’sLawDuYonghao(CivilEngineeringDepartmentofSoutheastUniversityNanjing211189China)Abstr

2、act:MypaperparticularlyderivesKepler’sSecondLawThirdLawFirstLawinmathematicalmethodsinder.LawofConservationofAngularMomentumisalsoappliedtoderiveKepler’sSecondLaw.Keywds:Kepler’sLawLawofConservationofAngularMomentum1前言前言

3、開(kāi)普勒第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。開(kāi)普勒第二定律，也稱面積定律：在相等的時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線（向量半徑）所掃過(guò)的面積都是相等的。這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量守恒。開(kāi)普勒第三定律，也稱調(diào)和定律、周期定律：各個(gè)行星繞太陽(yáng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方和它們公轉(zhuǎn)周期的平方成正比[1]。2開(kāi)普勒第二定律證明開(kāi)普勒第二定律證明2.1數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法令為行星

4、在時(shí)刻的位失，令為行星在時(shí)刻的位失。面積為??trt??ttr????tt??A?在時(shí)刻與時(shí)刻間行星位失掃過(guò)的面積，即與所圍成的三t??tt????tr????trttrr?????角形面積，如圖1，得：??rtrA????21所以：??trtrtA??????21令，得：0??t????trtrdtdA???21??1圖1[2]第3頁(yè)，共5頁(yè)根據(jù)角動(dòng)量守恒定律為常量，所以為常量。所以行星運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面LmLu2?積為定值。3開(kāi)

5、普勒第三定律證明開(kāi)普勒第三定律證明將太陽(yáng)置為原點(diǎn)（太陽(yáng)在行星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上），橢圓長(zhǎng)軸在軸上，如圖2。x根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，又因?yàn)?，所以且aCFCF2???CFCF??aCFCF???。aBFBF2???根據(jù)勾股定理：，如圖3222cba??????2222chBF???因?yàn)?，所以：haBFaBF?????22??????2222224422hahahaBFch????????化簡(jiǎn)得：ahac??22又因?yàn)?，所以?22cba??

6、ahbahacba?????22222??4與軸夾角為，根據(jù)開(kāi)普勒第一定律得：FBx2???????20212cos112???????????dtdAGMeerrh??因?yàn)椋琣hb?2221???????dtdAGMh所以：??????3222322222242aGMGMdtdAdtdAaahdtdAadtdAabT????????????????5所以開(kāi)普勒第三定律指出周期的立方和行星與太陽(yáng)間距的平方成正比。4開(kāi)普勒第一定律證明開(kāi)普