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文檔簡介
1、第1頁共8頁高中數(shù)學(xué)立體幾何存在性問題專題1.（天津理17）如圖，在三棱柱111ABCABC?中，H是正方形11AABB的中心，122AA?，1CH?平面11AABB，且15.CH?（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111AACB??的正弦值；（Ⅲ）設(shè)N為棱11BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面11AABB內(nèi)，且MN?平面11ABC，求線段BM的長本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間
2、向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分13分.方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得(2200)(000)(225)ABC?111(22220)(0220)(225)ABC（I）解：易得11(225)(2200)ACAB??????????????，于是11111142cos3||||322ACABACABACAB????????????????????????????????
3、??所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為2.3（II）解：易知111(0220)(225).AAAC?????????????設(shè)平面AA1C1的法向量()mxyz?，則11100mACmAA??????????????????即2250220.xyzy??????????不妨令5x?可得(502)m?，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量()nxyz?，第3頁共8頁因此22211111111111112cos.23ACABBCCAB
4、ACAB??????所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為2.3（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以11ACA?≌11BCA?，過點(diǎn)A作11ARAC?于點(diǎn)R，連接B1R，于是111BRAC?，故1ARB?為二面角A—A1C1—B1的平面角.在11RtARB?中，2111112214sin221().33BRABRAB???????連接AB1，在1ARB?中，22211111
5、14cos2ARBRABABARBRARBARBR???????27??，從而135sin.7ARB??所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為35.7（III）解：因?yàn)镸N?平面A1B1C1，所以11.MNAB?取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，所以NDC1H且11522NDCH??.又1CH?平面AA1B1B，所以ND?平面AA1B1B，故11.NDAB?又MNNDN??所以11AB?平面MND，連接MD并延長交A1B
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