高鐵振動(dòng)問(wèn)題中一類(lèi)二次特征值問(wèn)題結(jié)構(gòu)開(kāi)發(fā)的數(shù)值方法.pdf

1、二次特征值問(wèn)題在科學(xué)和工程的許多領(lǐng)域有豐富的應(yīng)用，如汽車(chē)制動(dòng)系統(tǒng)中的有限元系統(tǒng)，地震工程，保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和非保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析，以及最小二乘問(wèn)題等.
　　在高速列車(chē)的振動(dòng)問(wèn)題研究中，我們會(huì)遇到一類(lèi)非常特殊的回文對(duì)稱(chēng)二次特征值問(wèn)題(λ2AT+λQ+A)z=0，
　　其中A，Q∈Cn×n，QT=Q，Q為塊三對(duì)角陣且為塊Toeplitz矩陣，矩陣A僅在右上角有一個(gè)非零塊.
　　經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的研究我們知道，這個(gè)二次特征值問(wèn)題的解有兩個(gè)

2、特點(diǎn):
　　一.除了0和∞特征值，其余特征值是成對(duì)出現(xiàn)的，即如果λ是它的特征值，那么1/λ也是它的特征值.
　　二.大多數(shù)特征值是0和∞;
　　對(duì)這種有特殊結(jié)構(gòu)和稀疏的回文二次特征值問(wèn)題，如果使用傳統(tǒng)的線性化方法.那么，在線性化過(guò)程中，我們需要先把二次特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)兩倍大的線性特征值問(wèn)題，然后設(shè)法消除0和∞特征值.然而，在消去過(guò)程中，我們將會(huì)遇到一些十分病態(tài)的矩陣的求逆問(wèn)題，使這個(gè)消除過(guò)程產(chǎn)生非常大的誤差;由于Q

3、和A本身都是階數(shù)非常大的矩陣，這個(gè)過(guò)程中需要的計(jì)算量也是相當(dāng)?shù)拇?此外，對(duì)于高速列車(chē)的振動(dòng)問(wèn)題這種有特殊結(jié)構(gòu)和稀疏的回文二次特征值問(wèn)題而言，特征值以λ和1/λ形式成對(duì)出現(xiàn)的性質(zhì)也會(huì)遭到破壞.
　　為了解決這些問(wèn)題，一種稱(chēng)為預(yù)解的方法(solvent approach)，可以在保持原問(wèn)題解的結(jié)構(gòu)性的前提下，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)先求預(yù)解方程X+ATX-1A=Q穩(wěn)定解（特征值小于1的解），然后求解一個(gè)線性特征值問(wèn)題的問(wèn)題.
　　為了

4、求預(yù)解方程X+ATX-1A=Q穩(wěn)定解，目前較好的辦法是保結(jié)構(gòu)加倍算法（doubling算法）.但由于系數(shù)矩陣Q和A階數(shù)非常大，Q非常特殊，并且A很稀疏，因此，如何充分利用這些特殊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或改進(jìn)已有算法，是數(shù)值解這個(gè)特殊的回文特征值問(wèn)題的最大關(guān)鍵.
　　本文的主要貢獻(xiàn)是，通過(guò)分析Q和A的稀疏性和特殊結(jié)構(gòu)，我們首先發(fā)現(xiàn):預(yù)解方程X+ATX-1A=Q的解X和右邊的Q僅相差右下角一小塊.這樣，我們可以先將求大型非線性方程X+ATX-1A=