函數(shù)模型的應(yīng)用實例 2

1、3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例,自 學(xué) 導(dǎo) 引,函數(shù)模型及其應(yīng)用幾類不同增長的函數(shù)模型建立實際問題的函數(shù)模型用已知函數(shù)模型解決問題,課 前 熱 身,常用的函數(shù)模型1.直線型:y=kx+b(k≠0);2.拋物線型:y=ax2+bx+c(a≠0);3.指數(shù)函數(shù)型:y=a·bx+c(a≠0);4.對數(shù)函數(shù)型:y=mlogax+n(m≠0,a>0,且a≠1);5.冪函數(shù)型:y=a·xn(a≠0);,6.分

2、段函數(shù)型:y=f(x) (x∈A),g(x)(x∈?UA).,,名 師 講 解,1.建模通過建立實際問題的數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法稱為數(shù)學(xué)模型方法,簡稱建模.2.解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟:(1)認(rèn)真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,然后進(jìn)行科學(xué)的抽象?概括,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即實際問題數(shù)學(xué)化;(2)運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問題,得出函數(shù)問題的解;,(3)將所得函數(shù)問題的解代入實

3、際問題中進(jìn)行驗證,看是否符合實際,并對實際問題作答.以上步驟可用框圖表示為:,3.函數(shù)模型的應(yīng)用函數(shù)模型的應(yīng)用,包含兩個方面,一是利用給定的函數(shù)模型解決實際問題.二是建立確定的函數(shù)模型解決問題,在利用函數(shù)模型解決問題的過程中,往往對獲得的信息進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,較復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理需用信息技術(shù),即充分發(fā)揮計算器或計算機(jī)的作用.,典 例 剖 析,題型一 已知函數(shù)模型的應(yīng)用題例1:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=

4、f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000,(單位:元),利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)?(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值?(3)邊際利潤函數(shù)MP(x)取最大值的實際意義是什么?,解:由題意知,x∈,且x∈N.(1)P(x)=R(x

5、)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000.MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x.,(2)P(x)=-20x2+2500x-4000.取x=62或63時,則P(x)=74120最大.MP(x)=2480-40x是減函數(shù),取x=1,則MP(x)=244

6、0最大.所以二者不具有相同的最大值.,(3)邊際利潤函數(shù)MP(x)=P(x+1)-P(x),當(dāng)x=1時取最大值,說明生產(chǎn)第2臺與生產(chǎn)第1臺的總利潤差最大.MP(x)=2480-40x是減函數(shù),說明隨著產(chǎn)量的增加,每臺利潤與前一臺利潤相對在減少.規(guī)律技巧:①認(rèn)真閱讀,理解應(yīng)用問題的實際背景,將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題.②在解決數(shù)學(xué)問題時,要注意自變量取值應(yīng)有實際意義.,變式訓(xùn)練1:某商品最近100天內(nèi)的價格f(x)與時間t的函數(shù)關(guān)系式

7、為銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系式為求這種商品的日銷售額的最大值.,解:設(shè)這種商品的日銷售額為S.(1)當(dāng)0≤t≤40(t∈N)時,∵t∈N,∴當(dāng)t=10或11時,Smax=808.5.,(2)當(dāng)40<t≤100(t∈N)時S為t的二次函數(shù),它在區(qū)間(40,100]上是減函數(shù),因此在靠近左端t=41處取得最大值.即當(dāng)t=41時,Smax=714.由(1)(2)知,日銷售額的最大值為80

8、8.5.,題型二 自建函數(shù)模型的應(yīng)用題例2:醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實驗,經(jīng)檢測,病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表,已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.,(1)為了使小白鼠在實驗過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物?(精確到天)(2)第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物,才能維持小白鼠的

9、生命?(精確到天)(已知:lg2=0.3010)分析:(1)關(guān)鍵是將病毒細(xì)胞總數(shù)與天數(shù)的函數(shù)關(guān)系寫出來,從所給的表中可以發(fā)現(xiàn)為指數(shù)函數(shù)關(guān)系,可以通過指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化求得天數(shù);(2)關(guān)鍵是求出(1)之后小白鼠的體內(nèi)還剩余多少細(xì)胞病毒,可以通過建立不等式求解.,解:(1)由表中數(shù)據(jù)易知,細(xì)胞病毒個數(shù)關(guān)于時間t的函數(shù)為y=2t-1.由題意得2t-1≤108,兩邊取對數(shù)得(t-1)lg2≤8,即t≤≈27.6.即第一次最遲應(yīng)在第

10、27天注射該藥物.(2)由題意知,注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為226×(1-98%)=226×2%.再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為226×2%×2x,由題意有:226×2%×2x≤108,兩邊取對數(shù)得:26lg2+lg2-2+xlg2≤8,解得x≤6.2.故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.,規(guī)律技巧:在求解一些關(guān)于指數(shù)的應(yīng)用問題時,往往通過對數(shù)

11、計算使問題解決.,變式訓(xùn)練2:某化工廠生產(chǎn)的一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)量達(dá)到市場要求?(已知:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771),解:設(shè)過濾n次能達(dá)到要求,則∵n∈Z,∴n≥8.即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求.,題型三 模擬函數(shù)問題例3:某廠今年1月,2月,3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件,1.2萬件,1.3萬件,為了估測以

12、后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的產(chǎn)量與月份x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a·bx+c,(其中a,b,c為常數(shù)),已知,4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?分析:可用待定系數(shù)法求出a、b、c的值,確定函數(shù)后,再研究x=4時,哪個函數(shù)值更接近1.37.,解:當(dāng)f(x)為二次函數(shù)時,設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a≠0),則f(1)=1,f

13、(2)=1.2,f(3)=1.3, 即a+b+c=1,4a+2b+c=1.2,9a+3b+c=1.3,解得a=-0.05,b=0.35,c=0.7.,,,,∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3(萬件),當(dāng)f(x)=a·bx+c時,則f(1)=1,f(2)=1.2,

14、f(3)=1.3,即a×b+c=1,a×b2+c=1.2,a×b3+c=1.3,,,,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴f(x)=-0.8×0.5x+1.4.∴f(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(萬件).經(jīng)比較用f(x)=-0.8×0.5x+1.4作為模擬函數(shù)較好.規(guī)律技巧:求模擬函數(shù)的問題,其方法步驟

15、是:先把題中所給數(shù)據(jù),在坐標(biāo)系中描出散點圖.根據(jù)散點圖設(shè)出模擬函數(shù)(可能不只一個).然后用待定系數(shù)法確定模擬函數(shù),最后再驗證比較,哪個模擬函數(shù)更接近題意.,,變式訓(xùn)練3:某公司2006年至2009年生產(chǎn)總值(單位:億元)如下表所示:,(1)畫出函數(shù)圖象,猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系,近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式;(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值,與表中實際生產(chǎn)總值比較;(3)利用關(guān)系式預(yù)測2010年該公司的生產(chǎn)總值.分析:該題要根據(jù)函數(shù)圖象

16、模擬函數(shù)來猜想函數(shù)的類型,為此要先畫圖象,要找函數(shù)去模擬,最后求解和驗證.,解:(1)畫出函數(shù)圖象,如右圖所示.從函數(shù)的圖象可以看出,畫出的點近似地落在一條直線上,設(shè)所求的線性函數(shù)為y=kx+b.把直線通過的兩點(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式,解方程組,可得k=0.6777,b=8.2067.∴y=0.6777x+8.2067.,(2)由得到的關(guān)系式計算出該公司2007年和2008年的生產(chǎn)總值分別為f(1)=

17、0.6777×1+8.2067=8.8844,f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621,與實際的生產(chǎn)總值相比,誤差不超過0.1億元.(3)經(jīng)濟(jì)專家估計,該公司今后幾年內(nèi)生產(chǎn)總值還會按此規(guī)律增長,所以2010年,即x=4時,由上述關(guān)系式,得y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175,即預(yù)測2010年該公司生產(chǎn)總值約為10.9175萬億元.,4:某工廠轉(zhuǎn)換機(jī)制,兩年內(nèi)生產(chǎn)

18、的月增長率都是a,則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月的增長率是( )A.(1+a)12B.(1+a)12-1C.(1+a)11-1D.(1+a)13-1錯解:選A或選C或選D.錯因分析:對增長率問題的公式y(tǒng)=N(1+p)x沒理解而造成指數(shù)寫錯.,正解:不妨設(shè)去年1月份的產(chǎn)值為b,則2月份的產(chǎn)值為b(1+a),3月份的產(chǎn)值為b(1+a)(1+a)=b(1+a)2,以此類推,到今年1月份是去年1月份的第12個

19、月.故今年1月份的產(chǎn)值是b(1+a)12.由增長率的概念知,這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月的增長率為:.答案:B,技 能 演 練,基礎(chǔ)強(qiáng)化1.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下:在下列函數(shù)中比較接近這組數(shù)據(jù)規(guī)律的是( ),解析:代入表中數(shù)據(jù)可知比較接近這組數(shù)據(jù)規(guī)律的是答案:C,2.甲?乙兩人在一次賽跑中,路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說法正確的是( )A.甲比乙先出發(fā)B.乙比甲跑的路

20、程多C.甲?乙兩人的速度相同D.甲先到達(dá)終點答案:D,3.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由f(m)=1.06(0.5+1)給出,其中m>0,是小于或等于m的最大整數(shù),如=4,=2,=3,從甲地到乙地通話時間為6.5分鐘的話費為( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77解析:由題意可知,=6,代入公式f(6.5)=1.06(0.5×6+1)=1.06×4=4.24,故選C

21、.答案:C,4.某居民小區(qū)收取冬季取暖費,根據(jù)規(guī)定,住戶可以從以下兩種方案中任選其一:(1)按照使用面積繳納每平方米20元;(2)按照建筑面積繳納每平方米16元.李明家的使用面積為80平方米,如果他家選用第(2)種方案繳納取暖費較少,那么他家的建筑面積最多不超過( )A.90平方米B.100平方米C.110平方米D.120平方米答案:B,5.某池塘中原有一塊浮草,浮草蔓延后的面積y(平方米)與時間t(月)之間的函數(shù)

22、關(guān)系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的圖象如右圖所示,給出以下命題:①池塘中原有浮草的面積是0.5平方米;②到第7個月浮草的面積一定能超過60平方米;③浮草每月增加的面積都相等;④若浮草面積達(dá)到4平方米,16平方米,64平方米所經(jīng)過的時間分別為t1,t2,t3,則t1+t2<t3,其中所有正確命題的序號是( ),A.①②B.①④C.②③D.②④解析:由題圖知,y=2t-1,當(dāng)t=0時, 0.5,

23、∴①正確.當(dāng)t=7時,y=26=64>60,∴②正確,③顯然不正確.當(dāng)y=4,16,64時,t1=3,t2=5,t3=7,∴t1+t2>t3.∴④不正確,綜上知①②正確,故選A.答案:A,6.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直線x=t截這個梯形位于此直線左方的圖形的面積(如圖中陰影部分)為y,則函數(shù)y=f(t)的大致圖象為圖中的( ),解析:按一般方法求解,應(yīng)先求出函數(shù)

24、表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式確定圖象,然而按小題小作的原則,不必求出解析式,觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)C正確,因為一開始面積增長較快,當(dāng)1≤t≤2時,面積平均增長,圖象為直線,只有C適合這種規(guī)律.答案:C,解析:按一般方法求解,應(yīng)先求出函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式確定圖象,然而按小題小作的原則,不必求出解析式,觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)C正確,因為一開始面積增長較快,當(dāng)1≤t≤2時,面積平均增長,圖象為直線,只有C適合這種規(guī)律.答案:C,7.下表是某工廠產(chǎn)品的銷售價格

25、表:(單位:元)3732302725某人有現(xiàn)金2 900元,則最多可購買這種產(chǎn)品__________件.,解析:按每件27元購買,可買107件.,答案:107,8.計算機(jī)成本不斷降低,若每隔3年計算機(jī)價格降低現(xiàn)在價格為8100元的計算機(jī),9年后的價格為________元.解析:依題意可得答案:2400,能力提升,9.某商人將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一個銷售時,每天可以賣出100個.現(xiàn)在他采取提高售價減少進(jìn)貨量的辦法

26、增加利潤,已知這種商品銷售單價每漲1元,銷售量就減少10個,問他將售價每個定為多少元時,才能使每天所賺的利潤最大?最大利潤是多少?答:每件商品定價14元時,才能獲得最大利潤,最大利潤是360元.,解:設(shè)每件商品漲價x元,則售價為(10+x)元,每件可獲利(2+x)元,由題意可得每天可獲利潤y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360 (0≤x≤10)∴當(dāng)x=4時,y有最大值.,10

27、.某地有甲?乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設(shè)備和服務(wù)都很好,但收費方式不同.甲家每張球臺每小時5元;乙家按月計費,一個月30小時以內(nèi)(含30小時)每張球臺90元,超過30小時的部分每張球臺每小時2元.小張準(zhǔn)備下個月從這兩家中的一家租一張球臺使用,其活動時間不少于15小時,也不超過40小時.(1)設(shè)在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40).試求f(x

28、)和g(x).(2)你認(rèn)為選擇哪一家比較合算?為什么?,解:(1)依題意得: (2).易知:當(dāng)15≤x<18時,f(x)-g(x)<0,∴f(x)<g(x),即選甲家;當(dāng)x=18時,f(x)-g(x)=0.,∴f(x)=g(x),即選甲家和乙家都一樣;當(dāng)180,∴f(x)>g(x),即選乙家;當(dāng)300,∴f(x)>g(x),即選乙家.,品味高考,11.(10陜西)已

29、知函數(shù)f(x)= 2x+1,x<1, x2+ax,x≥1若f(f(0))=4a,則實數(shù)a=( )解析:∵f(0)=20+1=2,∴f(f(0))=f(2)=22+2a=4a,∴a=2.答案:C,,12.(09浙江)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下:高峰時間段用電價格表高峰月用電量,若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時,低谷時間段用電量為10