財務管理教學中的數學工具應用

1、全國中文核心期刊陰在現有的財務管理教科書中，定量分析基本上使用相同的數學模式，缺乏對隱含在其中的數學技巧的挖掘，從而導致初學者在財務定量計算時容易混淆。本文對財務管理中定量計算的技巧進行了分析，以期加深學生對財務管理基本原理的掌握程度，提高教學質量。一、“平移”技巧數學中的“平移”通常是指通過坐標軸平行移動，化簡函數形式。在財務管理教學過程中，利用數學中的“平移”技巧也可以清晰地揭示出一些財務指標之間的關系。下面以預付年金轉換為普通年金

2、為例予以說明。預付年金是指在一定時期內，各期期初等額的系列收付款項。它與后付年金的主要區(qū)別在于每期收付款項發(fā)生的時點不同，前者在期初，后者在期末。因為后付年金在現實生活中更常見，所以通常又稱之為普通年金。財務管理教科書中一般均以普通年金作為教學的重點，分別介紹其現值和終值的計算，并且在教科書中附普通年金終值系數表和普通年金現值系數表，以方便相應的終值和現值的計算。而對于預付年金終值或現值的計算，一般是通過分析預付年金與普通年金之間的關系

3、，利用普通年金終值系數或現值系數進行求解。但是現有的教科書中對于預付年金與普通年金之間的關系的分析都比較晦澀，學生理解較困難。如果利用數學中的“平移”技巧，則可以使這種分析變得更直觀，從而方便學生理解和記憶。依據預付年金的定義，預付年金可以用下圖表示：為了將預付年金轉換為普通年金，可以將預付年金中每期發(fā)生的款項向后“平移”一期，根據復利終值的計算公式，平移后每期發(fā)生額均為原發(fā)生額乘以一年期終值系數，圖示如下：很顯然，上圖正是一個標準的每

4、期發(fā)生額為粵（員垣蚤）的灶年期普通年金。據此，預付年金的現值和終值計算公式可以表示為：預付年金現值孕災粵蚤熏灶越粵伊穴員垣蚤雪伊孕災隕云粵蚤熏灶；預付年金終值云災粵蚤熏灶越粵伊穴員垣蚤雪伊云災隕云粵蚤熏灶。這樣預付年金終值或現值的計算可以根據普通年金終值系數或普通年金現值系數計算出來，即只要給定貼現率和期數，利用普通年金終（現）值系數表就可以求出預付年金的終值或現值。這種轉換雖然簡單，但存在一個缺陷，即預付年金終（現）值與普通年金終（現

5、）值系數之間的關系是非線性關系，如果想通過預付年金終（現）值倒推貼現率（或期數）非常困難，所以必須用新的辦法。筆者認為“輔助圖”技巧可以較好地解決此問題。二、“輔助圖”技巧在幾何學中，“輔助圖”可以使看似毫不相干的幾何圖形緊密聯系起來，從而揭示出隱含在其中的復雜幾何關系或數量關系。在財務管理教學中，一些特殊的財務模型可以通過“輔助圖”技巧轉變成基本的財務模型，從而利用基本的財務原理分析、解決各種復雜的財務問題。下面以預付年金終值計算為例

6、說明，根據預付年金的定義繪制它們的終值示意圖如下（假定為緣期）：圖中，黑色實線部分為緣年期預付年金終值示意圖，通過虛線部分的輔助圖，預付年金即轉變成普通年金了。輔助圖對預付年金的惟一影響是在“終值點”即第緣期期末增加了一筆款項粵。因為是在終值點增加，不需要折算，所以可從作輔助圖后的普通年金終值中扣除增加的這個粵，使之恢復到作輔助圖以前的預付年金終值。從上圖可以看出，添加輔助圖后，整個圖是一個完整的遠年期（比預付年金增加了一期）普通年金示

7、意圖，可以利用普通年金終值系數（孕災隕云粵蚤熏灶）方便地計算出其終值，再根據作圖說明，扣除一個粵后，即為原來預付年金的終值。依此類推，對于一個灶年期的預付年金，可以通過作輔助粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤園員圓猿源緣灶原員灶粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤粵淵員垣蚤冤財務管理教學中的數學工具應用【摘要】本文對財務定量分析中的五種常用的數學技巧進行了分析，期望能加深學生對財務管理基本原理的掌握程度，提高財務管理教學質量。【關鍵詞

8、】財務管理教學方法數學技巧應用研究粵粵粵粵粵粵粵園員圓猿源緣灶原員灶湖北黃岡師范學院夏慶利粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵淵員垣蚤冤贊粵粵粵粵粵粵園員圓猿源緣園員圓猿源緣遠緣圓猿員源援財會月刊淵理論冤窯苑苑窯陰陰全國優(yōu)秀經濟期刊圖的辦法，將此灶期的預付年金轉化灶垣員期的普通年金，再利用普通年金的終值計算公式方便地計算出預付年金的終值，即：預付年金的終值云災粵蚤熏灶越粵伊云災隕云粵蚤熏灶垣員原粵。同理，可以推導出

9、預付年金的現值孕災粵蚤熏灶越粵伊孕災隕云粵蚤熏灶原員垣粵。用輔助圖法推導出來的預付年金終（現）值與普通年金終（現）值系數之間呈線性關系，為進一步分析預付年金終值與貼現率（或期數）的關系打下了基礎。三、“湊項”技巧數學中的“湊項”經常在因式分解中使用，目的在于對復雜的方程或不等式求解。在財務管理教學中利用“湊項”技巧也可以化繁為簡。下面以遞延年金現值計算為例，說明“湊項”技巧在財務管理教學中的應用。遞延年金是指在最初若干期沒有收付款項的情

10、況下，隨后若干期有等額的系列收付款項。可以用下圖表示：前皂期沒有收付款項，從皂垣員期期末開始收付款項，共發(fā)生灶原皂期。遞延年金也可根據定義式進行計算，只是計算量大、計算復雜，但用“湊項”技巧將其轉化為普通年金問題進行計算則較為簡便。比較遞延年金與普通年金容易發(fā)現，在整個灶期內，僅在前皂期內未發(fā)生等額收付款項，在之后的灶原皂期內，是典型的等額系列收付款項。如果假設前皂期也存在等額收付款項，即湊項，如下圖：圖中斜體粵為“湊項”，從圖中可清楚

11、看出，湊項部分剛好也是一個皂期的普通年金，根據年金現值計算公式，“湊項”的年金現值為：孕災粵蚤熏皂越粵伊孕災隕云粵蚤熏皂，湊項后的系列收付款項為一個灶期普通年金，其現值為：孕災粵蚤熏灶越粵伊孕災隕云粵蚤熏灶。所以，該項遞延年金的現值為：孕災粵蚤熏灶越粵伊（孕災隕云粵蚤熏灶原孕災隕云粵蚤熏皂）。同理，可以推算遞延年金的終值計算公式，從而使遞延年金的現（終）值計算轉換成普通年金現（終）值計算。學生在學習過程中不用死記硬背計算公式，只需要運用

12、“湊項”的數學技巧，就可以方便地完成遞延年金的相關計算。四、“微分”思想“微分”思想是高等數學的基礎，其幾何意義可通俗地解釋為：任一曲線在一個極小的范圍內，可以由其切線代替，即“以直代曲”?！皟炔宸ā笔恰拔⒎帧彼枷朐谪攧展芾碇械牡湫蛻?，主要用于求解投資項目的內部報酬率，或者推算一項投資的回收期等。在計算機和一些專用軟件如耘曾糟藻造的幫助下，“內插法”幾乎可以解決現實生活中所有復雜投資方案報酬率的計算。但是，學生普遍對“內插法”理解不透

13、，所以在運用“內插法”時經常出現計算錯誤。事實上，“內插法”體現的正是微分學中“以直代曲”的思想，即將財務變量中的非線性關系在一定范圍內假定為線性關系，從而通過已知量推算未知量。下面以年金現值系數與貼現率隕的關系為例說明“內插法”中的“微分”思想。年金現值系數孕災隕云粵越云（蚤熏灶）為一非線性函數，在灶已知，且駐蚤很小時，根據“微分”思想孕災隕云粵與蚤呈線性關系，即孕災隕云粵越葬伊蚤垣遭。若查表蚤越蚤園時，孕災隕云粵越孕災隕云粵園；蚤越

14、蚤員時，孕災隕云粵越孕災隕云粵員。則：葬越（孕災隕云粵員原孕災隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）。遭越孕災隕云粵園原（孕災隕云粵員原孕災隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）伊蚤園。所以對于任一孕災隕云粵，若孕災隕云粵園臆孕災隕云粵臆孕災隕云粵員，必有：蚤越（孕災隕云粵原遭）衣葬越眼孕災隕云粵原孕災隕云粵園垣（孕災隕耘粵員原孕災隕云粵園）衣（蚤員原蚤園）伊蚤園伊（蚤員原蚤園）衣孕災隕云粵園云粵員原孕災隕云粵園）演越（孕災隕云粵原孕災隕云粵員）衣（孕災隕云粵

15、員原孕災隕云粵園）伊（蚤員原蚤園）垣蚤園。此式正是“內插法”的理論公式。為了便于記憶，還可以用“平行線截取的線段成比例”幫助記憶“內插法”的原理。因為比例關系是線性關系的一種特殊形式，所以可以利用“微分”思想進一步假定，非線性函數孕災隕云粵越云（蚤，灶），在灶已知，且駐蚤很小時，變量孕災隕云粵與蚤呈比例關系；另外假定線段粵月表示變量蚤，線段閱悅表示變量孕災隕云粵，如下圖：平行線粵閱、云耘、月悅截取粵月、閱悅兩直線線段成比例，即：粵云衣粵

16、月越閱耘衣閱悅。假設其中粵月軸上粵、云、月的坐標分別為蚤園、蚤和蚤員；閱悅軸上的閱、耘、悅的坐標分別為孕災隕云粵園、孕災隕云粵和孕災隕云粵員。則上述線段比例式可以表示為：（蚤原蚤園）衣（蚤員原蚤園）越（孕災隕云粵原孕災隕云粵園）衣（孕災隕云粵員原孕災隕云粵園）。經過簡單的變換，同樣可以得到內插法的理論計算公式：曾越（孕災隕云粵原孕災隕云粵員）衣（孕災隕云粵員原孕災隕云粵園）伊（蚤原蚤園）垣蚤園?！皟炔宸ā睆V泛應用于財務決策中，比如投資項

17、目內部報酬率的推算、投資回收期的推算等，在計算機和電子表格幫助下，重復運用“內插法”，可以根據非線性函數中的已知量準確地計算出其中的未知量。五、“降次”思想“降次”是數學中常用的解題方法，它通過“三角變換”或“太勒展開”等方式將高次方程變換成低次或者一次方程，從而對方程求解。在財務管理中也存在大量需要“降次”的情況，如在預付年金期數推算中就需要用到“降次”的方法。年金現值系數是關于貼現率的高次函數，用平移的方法推導出來的預付年金現值計算

18、公式中包含年金現值系數與貼現率的乘積項，相當于增加了函數的“次數”，而使用“輔助圖”只是增加了一個常數項粵，通過簡單的等量變換后，就可以使用上述“內插法”推算出貼現率（或者期數）。所以，在前面預付年金現值的計算中既介紹“平移”技巧，又介紹“輔助圖”技巧，盡管“輔助圖”技巧比“平移”技巧顯得復雜，但正是因為“輔助圖”具有“降次”的功能，所以必須介紹它。主要參考文獻劉建宇援論數學能力是理財的必備基礎援職業(yè)技術，圓園園遠；源粵閱云耘悅月園員圓