《數(shù)學(xué)教學(xué)論》ppt課件

1、數(shù)學(xué)教學(xué)論,學(xué)習(xí)內(nèi)容,緒論第一章 數(shù)學(xué)課程的基本理論第二章 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理論第三章 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)第四章 數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理論第五章 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法第六章 中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本能力培養(yǎng)第七章 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作,緒論數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對(duì)象、特點(diǎn)與研究方法,一、數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對(duì)象 數(shù)學(xué)教學(xué)論是數(shù)學(xué)教育學(xué)的主體部分，而數(shù)學(xué)教育學(xué)是研究數(shù)學(xué)教育規(guī)律的一門專業(yè)化學(xué)科，數(shù)學(xué)教育隨著社會(huì)和數(shù)學(xué)的

2、發(fā)展而發(fā)展。關(guān)于它的研究對(duì)象有以下幾種說(shuō)法： （1）前蘇聯(lián)的斯多利亞爾和奧加涅相的觀點(diǎn)（?）（2）美國(guó)的T·基蘭的觀點(diǎn)（?）（3）日本的橫地清 觀點(diǎn)（ ? ） 綜合之，分為狹義與廣義兩種觀點(diǎn)： 狹義觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)教育學(xué)是從學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程出發(fā)，主要研究數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué)三個(gè)方面的問(wèn)題。核心是：教學(xué)過(guò)程。重點(diǎn)是：課程的制訂、學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)三大問(wèn)題。（用“三角形”描述）,廣義觀點(diǎn)：研究與數(shù)學(xué)

3、教育有關(guān)的一切問(wèn)題。（有四個(gè)層面）（一）教育哲學(xué)層面（A）（二）數(shù)學(xué)教育的歷史、社會(huì)與文化層面（B） （三）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)層面（C）（四）數(shù)學(xué)課程與評(píng)估層面（D）,這四個(gè)層面之間互相牽制、相互作用，形成一個(gè)空間“四面體”。,2、數(shù)學(xué)教學(xué)論的特點(diǎn)（1）綜合性。（2）實(shí)踐性。（3）理論性。（4）教育性。 綜合性是數(shù)學(xué)教學(xué)理論研究的依托； 實(shí)踐性是數(shù)學(xué)教學(xué)論的出發(fā)點(diǎn)與歸宿； 理論性是數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本要求；

4、 教育性是數(shù)學(xué)教學(xué)論豐富的源泉。,3.數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究方法 (四個(gè)階段)（1）深入調(diào)查（2）綜合研究（3）反復(fù)實(shí)驗(yàn)（4）科學(xué)評(píng)估思考題1.數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對(duì)象是什么?2.數(shù)學(xué)教學(xué)論有哪些主要特點(diǎn)?3.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究方法.,第一章 數(shù)學(xué)課程的基本理論,[主要內(nèi)容]1.我國(guó)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展?fàn)顩r 2.數(shù)學(xué)課程的基本問(wèn)題（數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)、內(nèi)容、體系、編寫、實(shí)施、評(píng)價(jià)、改革）[關(guān)鍵詞] 課改，課程標(biāo)準(zhǔn)，課程內(nèi)容

5、，課程評(píng)價(jià),1.1 我國(guó)數(shù)學(xué)課程的演變與發(fā)展,一、“文革”前的數(shù)學(xué)課程二、“文革”后的數(shù)學(xué)課程改革(重點(diǎn)：初、高中“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”)三、我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的未來(lái)走向1.綜合化2.研究性3.理論與實(shí)踐學(xué)習(xí)并重,1.2 數(shù)學(xué)課程的基本問(wèn)題,課程的本質(zhì) （1）課程是國(guó)家對(duì)未來(lái)人才要求的意志體現(xiàn)； （2）課程是科技文化發(fā)展和人類經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶； （3）課程是社會(huì)與國(guó)民素質(zhì)進(jìn)步的反應(yīng)； （4）課程是學(xué)生在自我定

6、位基礎(chǔ)上的自主選擇。,數(shù)學(xué)課程的基本問(wèn)題： （1）數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)； （2）數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容； （3）數(shù)學(xué)課程的體系； （4）數(shù)學(xué)教材的編寫； （5）數(shù)學(xué)課程的改革； （6）數(shù)學(xué)課程的評(píng)價(jià)。,一、數(shù)學(xué)課程的目標(biāo),數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)（九年義務(wù)教育階段）包含有知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度等四個(gè)方面。（高中教育階段）知識(shí)技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等三維目標(biāo),二、數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容,三種觀點(diǎn)：觀點(diǎn)1

7、 課程內(nèi)容即教材觀點(diǎn)2 課程內(nèi)容即學(xué)習(xí)活動(dòng)觀點(diǎn)3 課程內(nèi)容即學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容選擇方面：第一，注意基礎(chǔ)性。第二，貼近社會(huì)生活。第三，結(jié)合學(xué)生與學(xué)校教育的特點(diǎn)。,三、數(shù)學(xué)課程體系,課程體系組織形式的三原則 1．縱向組織與橫向組織 2．邏輯順序與心理順序 3．直線式與螺旋式,五、數(shù)學(xué)課程的實(shí)施,課程實(shí)施的重要角色是教師，關(guān)鍵是具體操作過(guò)程。注意以下方面： 1.課程計(jì)劃本身的質(zhì)量 2.廣泛地交流與合作 3.課程實(shí)施的

8、組織與領(lǐng)導(dǎo),六、數(shù)學(xué)課程評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)分為內(nèi)部評(píng)價(jià)與結(jié)果評(píng)價(jià)，形成性評(píng)價(jià)與總結(jié)性評(píng)價(jià)。 內(nèi)部評(píng)價(jià)：只評(píng)價(jià)課程計(jì)劃的優(yōu)缺點(diǎn)。 結(jié)果評(píng)價(jià)：評(píng)價(jià)課程實(shí)施的結(jié)果。 形成性評(píng)價(jià)：為改進(jìn)現(xiàn)行計(jì)劃所從事的評(píng)價(jià)活動(dòng)，它是一種過(guò)程評(píng)價(jià)。它特別用于指導(dǎo)課程的設(shè)計(jì)與微調(diào)。 總結(jié)性評(píng)價(jià)：課程計(jì)劃實(shí)施后對(duì)其效果的評(píng)價(jià)，主要評(píng)價(jià)課程計(jì)劃的有效性。,評(píng)價(jià)模式有多種，最主要的一種是目標(biāo)評(píng)價(jià)模式。按評(píng)價(jià)原理，目標(biāo)評(píng)價(jià)模式分為七個(gè)步驟： (1)確定課程

9、計(jì)劃的目標(biāo)； (2)按照行為和內(nèi)容來(lái)界定每個(gè)目標(biāo)； (3)確定使用目標(biāo)的情境； (4)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)情境的方式； (5)設(shè)計(jì)獲取記錄的方式； (6)確定評(píng)價(jià)時(shí)使用的計(jì)分單位； (7)設(shè)計(jì)獲取代表性樣本的手段。,按照課程原理，目標(biāo)評(píng)價(jià)模式可概括為四個(gè)階段：(1)確定課程目標(biāo)； (2)根據(jù)目標(biāo)選擇課程內(nèi)容； (3)根據(jù)目標(biāo)組織課程內(nèi)容； (4)根據(jù)目標(biāo)評(píng)價(jià)課程。注意:評(píng)價(jià)的實(shí)質(zhì),是要確定預(yù)期課程目標(biāo)與

10、實(shí)際結(jié)果相吻合的程度。思考題 1.你認(rèn)為數(shù)學(xué)課程的基本問(wèn)題中哪個(gè)最重要？說(shuō)說(shuō)你的理由。 2.《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是什么？（就高、初中分別闡述）,第二章 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理論,[主要內(nèi)容]1.布魯納、奧蘇伯爾的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論。2.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過(guò)程。[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同化，順應(yīng)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，有意義學(xué)習(xí)，接受學(xué)習(xí)，機(jī)械學(xué)習(xí),引言 數(shù)學(xué)教育的對(duì)象是學(xué)生。學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)技能，發(fā)展數(shù)

11、學(xué)能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)心理品質(zhì)，都是在不斷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步完成的。因此，在討論“教的規(guī)律”之前，首先必須了解“學(xué)的規(guī)律”，即研究學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問(wèn)題。 對(duì)于學(xué)習(xí)的過(guò)程，有兩種基本的見解: 一種是以桑代克、斯金納為代表的刺激——反應(yīng)聯(lián)結(jié)學(xué)說(shuō)。這種學(xué)說(shuō)認(rèn)為學(xué)習(xí)的過(guò)程是盲目的、漸進(jìn)的，嘗試錯(cuò)誤直至最后取得成功的過(guò)程。學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是形成刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)。 另一種是以布魯納、奧蘇伯

12、爾為代表的認(rèn)知學(xué)說(shuō)。這種學(xué)說(shuō)認(rèn)為學(xué)習(xí)的過(guò)程是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。其實(shí)質(zhì)是，有內(nèi)在邏輯意義的學(xué)習(xí)材料與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)起來(lái)，新舊知識(shí)相互作用，從而新材料在學(xué)習(xí)者頭腦中獲得了新的意義。,2．1 認(rèn)知—發(fā)現(xiàn)理論和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),布魯納（美國(guó)教育心理學(xué)家）認(rèn)知—發(fā)現(xiàn)說(shuō) 把學(xué)習(xí)看做是認(rèn)知過(guò)程，認(rèn)為學(xué)習(xí)是通過(guò)認(rèn)知，獲得意義和意象，從而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。他認(rèn)為學(xué)習(xí)包含三種幾乎同時(shí)發(fā)生的過(guò)

13、程：①新知的獲得；②知識(shí)的改造；③檢查知識(shí)是否恰當(dāng)和充足。學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)在于發(fā)現(xiàn)。該理論被稱為認(rèn)知—發(fā)現(xiàn)理論。,布魯納的教學(xué)理論(出自《教育的過(guò)程》一書):1.教育在智育方面的目標(biāo)是傳授知識(shí)和發(fā)展智力。2.要讓學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)。(學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)？掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的意義?）3.注重兒童的早期智力開發(fā)。4.提倡“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的方法。(發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)?)布魯納的學(xué)習(xí)原理:1.建構(gòu)原理2.符號(hào)原理3.比較和變式原理4.關(guān)聯(lián)原

14、理,(學(xué)生開始學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理或法則時(shí),要以最合適的方法建構(gòu)其代表),(學(xué)生掌握了適合于他們智力發(fā)展的符號(hào),就能在認(rèn)知上形成早期的結(jié)構(gòu)),(概念由具體到抽象，需要比較和變式，要通過(guò)比較和變式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.例如,有些概念本身就是通過(guò)比較定義的：負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù)，不是有理數(shù)的數(shù)稱為無(wú)理數(shù).總之,比較是幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)概念和發(fā)展其抽象水平的最有用方式之一),(把各種概念、原理聯(lián)系起來(lái)，置于一個(gè)統(tǒng)一的系統(tǒng)中進(jìn)行學(xué)習(xí)),(1)在數(shù)

15、學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不僅應(yīng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的概念、定理、公式等，還應(yīng)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈；應(yīng)注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，而不是孤立地記住一些數(shù)學(xué)結(jié)論。 (2)在表示數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的情況，考慮是通過(guò)一系列實(shí)例呢，還是通過(guò)一些概念和原理，或是一系列符號(hào)。 (3)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)把學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按一定的方式構(gòu)造好，以便于學(xué)生記憶和保持。 (4)為了“遷移”做好充分的準(zhǔn)備，應(yīng)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本原理有深刻的理解，從而根據(jù)原理的結(jié)構(gòu)，把掌握

16、的模式應(yīng)用到類似的事物中。 (5)要使學(xué)生享受到數(shù)學(xué)智力活動(dòng)的樂趣，讓他們體會(huì)到學(xué)好數(shù)學(xué)是一件非常有意義的事情。,布魯納的教學(xué)和學(xué)習(xí)理論，對(duì)我們的啟示：,思考題,1.學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是什么？ 布魯納為何主張要掌握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)？2.什么是“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”方法？,2.2 認(rèn)知—接受理論和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),奧蘇伯爾(美國(guó)心理學(xué)家)認(rèn)知—接受學(xué)習(xí)理論背景：20世紀(jì)50年代，許多數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍應(yīng)用的講授法會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的機(jī)械學(xué)習(xí)

17、，而發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)是促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的好方法。因此，許多人否定了講授法在學(xué)校教學(xué)中的地位，只有部分人認(rèn)為，講授法在過(guò)去曾經(jīng)起過(guò)良好的作用，不應(yīng)把它作為不好的教學(xué)方法拋棄。基于此，奧蘇伯爾提出了有意義接受學(xué)習(xí)理論。其理論屬于認(rèn)知心理學(xué)范疇，故稱認(rèn)知—有意義接受學(xué)習(xí)理論。奧蘇伯爾理論：學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素；一切新的學(xué)習(xí)都是在過(guò)

18、去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，新的概念、命題等總是通過(guò)與學(xué)生原來(lái)的有關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用轉(zhuǎn)化為主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同化與順應(yīng)？是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種不同形式，它們往往存在于同一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只是各側(cè)重不同而已。,根據(jù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)習(xí)分為機(jī)械學(xué)習(xí)和有意義學(xué)習(xí) 根據(jù)學(xué)習(xí)的方式，學(xué)習(xí)分為接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí) （注：布魯納提倡發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，奧蘇伯爾提倡有意義接受學(xué)習(xí)）機(jī)械學(xué)習(xí)——指學(xué)生并未理解由符號(hào)所代表

19、的知識(shí)，僅僅記住某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)或某個(gè)詞句的組合有意義學(xué)習(xí)——就是掌握事物的意義，把握事物內(nèi)部實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的學(xué)習(xí)接受學(xué)習(xí)——學(xué)習(xí)的內(nèi)容是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者。這種學(xué)習(xí)不涉及學(xué)生任何獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)，只需要學(xué)習(xí)者將所學(xué)的新材料與舊知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)（即內(nèi)化）即可發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)——不把學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提供給學(xué)習(xí)者，而必須由學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，然后內(nèi)化 有意義學(xué)習(xí)、機(jī)械學(xué)習(xí)的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)： 學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)是否與新學(xué)習(xí)材料建立了

20、 ①“非人為的聯(lián)系”（即符號(hào)所代表的新知識(shí)同原有知識(shí)的聯(lián)系 ） ②“實(shí)質(zhì)性聯(lián)系”（指用不同語(yǔ)言或其他符號(hào)表達(dá)的同一認(rèn)知內(nèi)容的聯(lián)系 ）,有意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和接受學(xué)習(xí)之間存在怎樣的關(guān)系呢?——既彼此獨(dú)立,又互相聯(lián)系。 奧蘇伯爾認(rèn)為，它們是交叉關(guān)系:接受學(xué)習(xí)可以是機(jī)械學(xué)習(xí)，也可以是有意義學(xué)習(xí)；發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)可以是機(jī)械學(xué)習(xí)，也可以是有意義學(xué)習(xí)。,奧蘇伯爾關(guān)于有意義學(xué)習(xí)的基本觀點(diǎn),在學(xué)校條件下，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是有意義的，而不是

21、機(jī)械的。基于此，他認(rèn)為好的講授教學(xué)是促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的惟一有效方法。探究學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)等在學(xué)校里不應(yīng)經(jīng)常使用。他提倡有意義的接受學(xué)習(xí)。,學(xué)習(xí)者產(chǎn)生有意義接受學(xué)習(xí)的兩個(gè)條件,第一，學(xué)習(xí)者必須具有有意義學(xué)習(xí)的心向，即學(xué)生必須把學(xué)習(xí)任務(wù)和適當(dāng)?shù)哪康穆?lián)系起來(lái)（如果學(xué)生企圖理解學(xué)習(xí)材料，有把新學(xué)習(xí)內(nèi)容和以前學(xué)過(guò)的東西聯(lián)系起來(lái)的愿望，那么該生就是以有意義的方式學(xué)習(xí)新內(nèi)容。如果學(xué)習(xí)者不想把新知識(shí)與以前學(xué)習(xí)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，那么有意義學(xué)習(xí)就不會(huì)發(fā)生）第二

22、，新學(xué)習(xí)的內(nèi)容和學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間具有潛在的意義（通過(guò)把新的數(shù)學(xué)概念和原理與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，學(xué)生就能把新內(nèi)容同化到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。為了保證有意義學(xué)習(xí)，教師必須幫助學(xué)生建立他們自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，使得每一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念或原理都與學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念和原理相聯(lián)系）,認(rèn)知—接受學(xué)習(xí)理論對(duì)我們的啟示：,（1）在數(shù)學(xué)教育改革進(jìn)一步深化的今天，數(shù)學(xué)教育界提出了各種教學(xué)方法，例如，“啟導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”、“茶

23、館式教學(xué)法”、“六課型單元教學(xué)法”等等。究竟選擇哪種教學(xué)方法呢？奧蘇伯爾的觀點(diǎn)告訴我們，在提供某種教學(xué)方法時(shí)，不要貶低甚至否定另一種教學(xué)方法，也不要把某種教學(xué)方法夸大到不恰當(dāng)?shù)牡夭健?（2）在班級(jí)授課制這一教學(xué)組織形式下，以接受前人發(fā)現(xiàn)的知識(shí)為主的學(xué)生應(yīng)以有意義的接受學(xué)習(xí)作為主要的學(xué)習(xí)方法，輔助以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)對(duì)于激發(fā)學(xué)生的智慧潛能，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)的技巧具有積極意義。因此，數(shù)學(xué)教育工作者就應(yīng)當(dāng)把更多精力放在有效的講授教學(xué)方法上。

24、（3）教學(xué)的一個(gè)最重要的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。教學(xué)的策略就在于怎樣建立學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的知識(shí)和新知識(shí)的聯(lián)系，以及激發(fā)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的心向。,思考題,1.什么是接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)?2.區(qū)別機(jī)械學(xué)習(xí)與有意義學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)是什么?3.產(chǎn)生有意義學(xué)習(xí)的條件是什么?,2.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過(guò)程,學(xué)習(xí)過(guò)程:是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程:是學(xué)生把人類積累的數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)認(rèn)識(shí)活動(dòng)轉(zhuǎn)

25、化為個(gè)體頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中存在著三種結(jié)構(gòu)：一是知識(shí)結(jié)構(gòu)（即知識(shí)本身的邏輯體系.數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是以最基本的原理和方法為基本出發(fā)點(diǎn),邏輯地組織起來(lái)的,因而具有邏輯性、系統(tǒng)性的特點(diǎn).對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō),知識(shí)結(jié)構(gòu)是認(rèn)識(shí)的客體.）；二是認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)（或心理結(jié)構(gòu)）（即人在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的心理過(guò)程（感覺、知覺、思維、想象、注意、記憶等）以及個(gè)性心理特征（情感、意志、興趣、體質(zhì)等）,它對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是主體特征.）；三是認(rèn)知結(jié)構(gòu)（它是學(xué)習(xí)者頭腦里

26、的知識(shí)結(jié)構(gòu),是學(xué)習(xí)者觀念的全部?jī)?nèi)容和組織.它不僅包括學(xué)習(xí)者頭腦中的全部知識(shí),而且還有這些知識(shí)的內(nèi)部組織方式）。,知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)三者之間關(guān)系,數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)——即學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 第一,它是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物。 第二,它是學(xué)生頭腦中已有數(shù)學(xué)知

27、識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織。 第三,它可以在各種抽象水平上來(lái)表征數(shù)學(xué)知識(shí)。 第四,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有各自的個(gè)性特點(diǎn)（差異）。 第五,它在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)揮著積極的作用。 第六,它是在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中形成，發(fā)展，完善的動(dòng)態(tài)組織。 第七,就功能而言，學(xué)生能借助已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)掌握現(xiàn)有知識(shí)，還能借助于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四個(gè)階段,依據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程可以分為四個(gè)階段，即輸入階段、相互作用階段、

28、操作階段和輸出階段。,1.輸入階段 輸入階段是給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)內(nèi)容,創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境。目的在于引起沖突，產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的需要。2.相互作用階段 同化與順應(yīng) 皮亞杰（瑞士心理學(xué)家）：“刺激輸入的過(guò)濾或改變叫同化；內(nèi)部圖式的改變，以適應(yīng)現(xiàn)實(shí)，叫做順應(yīng)?！蓖歉脑煨聦W(xué)習(xí)內(nèi)容使之與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相吻合。順應(yīng)則是改造學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。 同化與順應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相

29、互作用的兩種不同形式，它們往往存在于同一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只是各側(cè)重不同而已。,,3.操作階段 在第二階段產(chǎn)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)雛形的基礎(chǔ)上，通過(guò)練習(xí)等活動(dòng)，使新學(xué)習(xí)的知識(shí)得到鞏固，從而初步形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。（學(xué)習(xí)者獲得了一定的技能）4.輸出階段 基于第三階段，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使初步形成的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)臻于完善，最終形成新的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展，達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)期目標(biāo)。 總之，無(wú)論是新知識(shí)的接受

30、，還是納入，都取決于學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在任何條件下，已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。要求教師在教學(xué)時(shí)首先要考慮學(xué)生知道了什么，掌握到何種程度，然后再考慮教學(xué)內(nèi)容的難易程度、呈現(xiàn)序列等問(wèn)題，確保學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新數(shù)學(xué)知識(shí)相互作用的順利進(jìn)行。,思考題,1.什么是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)？具有哪些特點(diǎn)？ 2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過(guò)程可分為幾個(gè)階段？簡(jiǎn)述各階段的主要任務(wù)。,第三章 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),[主要內(nèi)容] 1.數(shù)學(xué)思維的

31、概念、特點(diǎn)和品質(zhì)。2.創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)及其培養(yǎng)的意義和基本途徑。 3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維過(guò)程，數(shù)學(xué)思維的基本方法。 [關(guān)鍵詞] 思維，數(shù)學(xué)思維，形象思維，抽象思維，直覺思維，思維品質(zhì)，發(fā)散思維，思維過(guò)程，觀察，試驗(yàn)，比較，分析，綜合，抽象，概括,3.1 數(shù)學(xué)思維 3.1.1思維與數(shù)學(xué)思維 （1）思維的意義與特征思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質(zhì)與內(nèi)容規(guī)律性。概括起來(lái)就是兩個(gè)方面：

32、 一是能反映。思維的器官是人腦，它能夠天然的反映客體，這種天然的反映形式就是感覺。反映的僅是事物的個(gè)別屬性、個(gè)別事物及其外部聯(lián)系，屬于感性認(rèn)識(shí)。 二是有意識(shí)。是人腦和動(dòng)物腦的一個(gè)顯著區(qū)別，人腦可以產(chǎn)生意識(shí)——頭腦中已有知識(shí)和自覺攝取知識(shí)的習(xí)性，而動(dòng)物沒有意識(shí)。所以說(shuō)，用意識(shí)裝備起來(lái)的頭腦去反映的可以是一類事物共同的、本質(zhì)的屬性和事物間內(nèi)在的、必然的聯(lián)系，即超出了感性認(rèn)識(shí)的界線，屬于理性認(rèn)識(shí)。這就是思維的直接本質(zhì)。

33、思維的顯著特征：①概括性——反映一類事物本質(zhì)特征及事物所具有的普遍或必然的聯(lián)系。概括水平是衡量思維水平的重要標(biāo)志。②間接性——通過(guò)其他事物的媒介作用來(lái)反映客觀事物，基于此，人們才能對(duì)那些未曾感知過(guò)或根本無(wú)法感知的事物做出反應(yīng)，使人的知識(shí)范圍擴(kuò)大、延伸，并可預(yù)測(cè)未來(lái)。,（2）數(shù)學(xué)思維的意義與特征 數(shù)學(xué)思維：以數(shù)與形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)為載體，并以認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。 數(shù)學(xué)思維的特征第一，具有一般思維

34、的特征；第二，抽象性；第三，嚴(yán)謹(jǐn)性；第四，整體性；第五，相似性；第六，問(wèn)題性和語(yǔ)言符號(hào)化。 （詳見《數(shù)學(xué)教學(xué)論》羅增儒等，P229）,3.1.2 數(shù)學(xué)思維的基本成分?jǐn)?shù)學(xué)思維的基本成分有具體形象思維、抽象邏輯思維、直覺思維三種。1．形象思維及其特征數(shù)學(xué)形象思維是借助數(shù)學(xué)形象或表象反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。數(shù)學(xué)形象思維的過(guò)程是對(duì)一類特殊的思維材料的加工創(chuàng)造過(guò)程。這類特殊的數(shù)學(xué)思維材料，就是具體可感知的表象材料

35、。通過(guò)對(duì)原有的數(shù)學(xué)表象的提煉改造加工處理，即按照數(shù)學(xué)的邏輯和思維的目的對(duì)原有表象有意識(shí)地、有指向性地選擇和重新排列組合，形成新的“意向”，從而提出數(shù)學(xué)問(wèn)題或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。它的基本特征：以物象為思維材料，在整個(gè)思維過(guò)程中都不脫離形象，始終具有具體可感性。,數(shù)學(xué)形象思維的功能： 第一,它以形象的形式反映數(shù)學(xué)規(guī)律，從而提供數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)而形象的整體顯示。因此，易于把握整體。 第二,數(shù)學(xué)創(chuàng)造性往往從對(duì)形象的思維受到啟發(fā)，以形象思維為先導(dǎo)。它

36、給數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)方法的提出以及數(shù)學(xué)創(chuàng)造帶來(lái)活力。 第三,數(shù)學(xué)形象思維可以彌補(bǔ)抽象思維的不足。（如，一塊正方板，鋸掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角？若按抽象思維形式，答案可能是“3”，若按形象思維形式，答案則為“3或5”，顯然后者是正確的。）,2．?dāng)?shù)學(xué)邏輯思維的特征數(shù)學(xué)邏輯思維也稱數(shù)學(xué)抽象思維，它是借助數(shù)學(xué)概念、判斷、推理等思維形式，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。它的最基本特征：就是以反映客觀事物數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的概念為思維材料

37、。在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)一定的邏輯法則進(jìn)行推理，形成概念、定理、原理。在數(shù)學(xué)邏輯思維中，概念如“珠”，邏輯如“線”，思維結(jié)果就是“一串珠”，即概念的邏輯鏈。 數(shù)學(xué)邏輯思維方法：歸納和演繹，分析與綜合，具體與抽象。 數(shù)學(xué)邏輯思維主要功能：它是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)理論體系乃至其他科學(xué)理論體系最主要的工具。,3．?dāng)?shù)學(xué)直覺思維的特征數(shù)學(xué)直覺思維是以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象作總體觀察,在一瞬間頓悟到對(duì)象的某方面的本質(zhì),

38、從而迅速作出估斷的一種思維。這種思維形式，以高度省略、概括、濃縮的方式洞察問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。它由潛意識(shí)參與活動(dòng)，不受邏輯規(guī)則約束，是一種非邏輯思維活動(dòng)。其特征是：一、突發(fā)性（受視覺觸發(fā)，突然地領(lǐng)悟道理，作出判斷，得出結(jié)論。）二、直接性（沒有詳盡的分析和推理，直接接觸結(jié)果，是一種邏輯的跳躍。）三、創(chuàng)造性（直覺思維的結(jié)果常表現(xiàn)出新的突破，新的結(jié)論。） 注意！任何直覺思維都是持久探索和思考的結(jié)果，雖然在形式上表現(xiàn)為邏輯的跳躍和中斷，但它

39、仍是理性的思維，理性的積淀，而決非是盲目的。,3.1.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維發(fā)展,1.思維發(fā)展的年齡特征,2．思維發(fā)展的“關(guān)鍵期”與“成熟期” 一是初二年級(jí)，表現(xiàn)為從經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維的轉(zhuǎn)化，處于思維發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，稱之為“關(guān)鍵期”； 二是在高一到高二年級(jí)，這時(shí)學(xué)生的思維活動(dòng)初步形成，思維發(fā)展處于“成熟期”，高二以后學(xué)生智力發(fā)展日趨穩(wěn)定和成熟。3．思維發(fā)展的差異性,4．思維發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以學(xué)生一定的思維發(fā)展水平為

40、前提，反過(guò)來(lái)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)又能大力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，要與學(xué)生思維發(fā)展的進(jìn)程相吻合，既不能不顧學(xué)生思維發(fā)展的階段、水平，要求他們學(xué)習(xí)難度過(guò)大或過(guò)于抽象的內(nèi)容，從而造成“消化不良”和學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)過(guò)重，也不能低估學(xué)生思維發(fā)展水平，降低學(xué)習(xí)要求，阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)潛力的發(fā)揮，造成教學(xué)內(nèi)容貧乏和過(guò)易，從而直接影響他們思維發(fā)展和能力的提高。,3.1.4 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng) 1.思維的品質(zhì) 思維品質(zhì)是評(píng)價(jià)和衡量學(xué)生思維優(yōu)

41、劣的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要有以下幾個(gè)方面：（1）思維的廣闊性 思維的廣闊性又稱思維的發(fā)散性，即善于全面地看問(wèn)題，思路開闊，多角度探求，多方面考慮問(wèn)題的品質(zhì)。 (舉例) 思維的廣闊性的反面是思維的狹隘性，具體表現(xiàn)在思考問(wèn)題時(shí)腦子經(jīng)常放不開，跳不出條條框框的束縛，思維處于封閉狀態(tài)。,（2）思維的深刻性 思維的深刻性，是指在分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中，能夠透過(guò)事物的表象認(rèn)識(shí)和把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及其相互關(guān)系，正確提示現(xiàn)象背

42、后的規(guī)律，從復(fù)雜多變的現(xiàn)象中追根求源，或?qū)⒁延薪Y(jié)果變換、推廣，得到更深刻的結(jié)果。思維的深刻性是一切思維的基礎(chǔ)。 思維深刻性的反面是思維的膚淺性，表現(xiàn)為只滿足一知半解，不求甚解；考慮問(wèn)題時(shí)，不去領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，照葫蘆畫瓢。(舉例)（3）思維的靈活性 思維的靈活性，又稱思維的變通性，是指能依據(jù)客觀條件的變化及時(shí)調(diào)整思維方向，擺脫思維定勢(shì)的影響，靈活地運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，多角度尋求解決問(wèn)題的途徑的能力。 思維靈活性的反

43、面是思維的呆板性。受思維定勢(shì)的影響，習(xí)慣于“現(xiàn)成途徑”，遁入業(yè)已知道的規(guī)則系統(tǒng)。 (舉例),（4）思維的批判性思維的批判性，是指在思維活動(dòng)中獨(dú)立思考，善于質(zhì)疑，敢于發(fā)表不同的意見、看法。既不人云亦云，也不自以為是。 思維的批判性的反面是無(wú)批判性，不善于或不會(huì)找出自己解題中的錯(cuò)誤。 （5）思維的敏捷性思維的敏捷性指思維過(guò)程的簡(jiǎn)縮性和快速性。特點(diǎn)是：一快捷，二準(zhǔn)確。 它的反面是思維的遲鈍性。(舉例),（6）思維的創(chuàng)造性

44、 思維的創(chuàng)造性表現(xiàn)為能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，主動(dòng)地提出新的見解和采用新的方法的思維品質(zhì)。如數(shù)學(xué)王子高斯10歲時(shí)，對(duì)計(jì)算1+2+3+…+100，一口報(bào)出結(jié)果，即思維具有創(chuàng)造性的表現(xiàn)。 思維的創(chuàng)造性是創(chuàng)造性人才的主要特征，是人類思維的高級(jí)形態(tài)，是智力活動(dòng)的高級(jí)表現(xiàn)。任何創(chuàng)造、發(fā)明、革新、發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)都離不開創(chuàng)造性思維。 創(chuàng)造性思維具有五個(gè)重要特點(diǎn)（心理學(xué)家林崇德教授研究結(jié)果）： ① 新穎（前所

45、未有）、獨(dú)特（不同尋常）、有意義（有價(jià)值） ② 思維加想象 ③ 思維的產(chǎn)生具有突發(fā)性或稱為“靈感” ④ 分析思維與直覺思維的統(tǒng)一 ⑤ 發(fā)散思維與輻合思維（求同思維）的統(tǒng)一 思維的創(chuàng)造性的對(duì)立面是思維的保守性，表現(xiàn)為受條條框框限制，被俗套束縛，不愿多想問(wèn)題，只求“成法”，而產(chǎn)生思維惰性。,2.數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)造性思維培養(yǎng)創(chuàng)造可分為真創(chuàng)造與類創(chuàng)造兩種。真創(chuàng)造是科學(xué)家和創(chuàng)造發(fā)明家最終產(chǎn)生了對(duì)

46、人類來(lái)說(shuō)是新的知識(shí)和有社會(huì)價(jià)值的成品活動(dòng)。類創(chuàng)造是對(duì)個(gè)體而言的，其思維或品質(zhì)對(duì)個(gè)人來(lái)說(shuō)是新的，而對(duì)人類來(lái)說(shuō)是已知的，所以將這種活動(dòng)稱為類創(chuàng)造。 創(chuàng)造能力的素質(zhì)是每一個(gè)人、每一個(gè)正常兒童所固有的，需要的只是善于把它們發(fā)掘出來(lái)并加以發(fā)展。所以，我們必須摒棄“創(chuàng)造是天才們的專利”的陳腐觀念，樹立起“人人能創(chuàng)造”的現(xiàn)代意識(shí)，創(chuàng)新精神。（楊振寧教授說(shuō)過(guò):在國(guó)外,中國(guó)留學(xué)生無(wú)論在普通大學(xué),還是一流大學(xué),學(xué)習(xí)成績(jī)都是非常出色的.但是中國(guó)留學(xué)生膽小

47、,老師沒有講過(guò)的不敢想,老師沒有做過(guò)的不敢做.朱棣文(美籍華人,諾貝爾獎(jiǎng)得主,美能源部長(zhǎng))說(shuō):美國(guó)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)不如中國(guó)學(xué)生,但是他有創(chuàng)新及冒險(xiǎn)精神,所以往往創(chuàng)造出一些驚人成就.）創(chuàng)新精神強(qiáng),天資差的人往往比天資強(qiáng)而創(chuàng)新精神不足的人能取得更大的成就.,數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的若干成功經(jīng)驗(yàn)： （1） 培養(yǎng)歸納、類比能力，鼓勵(lì)大膽猜想; （2） 一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維能力; （3） 鼓勵(lì)質(zhì)疑，培養(yǎng)思維的批判性; （4） 重視

48、直覺思維能力培養(yǎng);(舉例) （5） 引入數(shù)學(xué)開放題;（說(shuō)明及舉例） （6） 指導(dǎo)學(xué)生寫數(shù)學(xué)小論文; （7） 多一點(diǎn)耐心與寬容;,思考題,1.何謂數(shù)學(xué)思維？它有哪些特點(diǎn)？2.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思維的基本成分。3.簡(jiǎn)述創(chuàng)造性思維的價(jià)值,如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維?,3.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維過(guò)程,1.分析與綜合 2.比較與分類 3.抽象與概括 4.演繹、歸納與類比 5.聯(lián)想與猜想 （詳見羅增儒等《數(shù)學(xué)教學(xué)論P(yáng)237-

49、243》）,思考題,1.數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)包括哪幾個(gè)方面？舉例說(shuō)明。2.什么是分析與綜合？各有什么特點(diǎn)？,例如,在圓x2+y2=9上有一點(diǎn)P,圓內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程.解題不難,引入?yún)⒆兞?利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以推導(dǎo)出它的軌跡方程.若把條件“圓”改為橢圓、雙曲線、拋物線，解題思路相同嗎？若把條件“圓內(nèi)有一定點(diǎn)”改為圓上或圓外，行嗎？若把結(jié)論“中點(diǎn)的軌跡方程”改為把線段AP分成定比k的分點(diǎn)的軌跡方程，解題思

50、路仍基本相同。,,例如,已知方程x2+x+p=0的兩個(gè)虛根為α,β,且|α-β|=3,求實(shí)數(shù)p的值.在審題中,不少學(xué)生由|α-β|=3得到 α-β=±3或|α-β|2=(α-β)2,從而造成原則性的錯(cuò)誤,其根本原因是沒有深入思考實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與虛數(shù)絕對(duì)值的本質(zhì)差異,從而錯(cuò)誤,這是思維缺乏深刻性的表現(xiàn).,,例如,已知二次方程(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0 (a,b,c∈R)有相等實(shí)根,求證a,b,c成等差數(shù)列.

51、對(duì)此題,若思維呆板,則會(huì)總是停留在利用一元二次方程根的判別式上.由題目條件,你能得出其他證法嗎?,,例如,學(xué)生剛學(xué)完兩數(shù)和的平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2,對(duì)于(x+y+z)(x+y+z)=?怎樣解答?,,如圖,有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的立方體,它由27個(gè)邊長(zhǎng)為1的小立方體組成,其中19個(gè)看得見,8個(gè)看不見.問(wèn)在邊長(zhǎng)為n的立方體中,看不見的邊長(zhǎng)為1的小立方體有多少個(gè)?看得見的小立方體有多少個(gè)?發(fā)揮直覺思維

52、,從大立方體的頂面、前面、側(cè)面各剝?nèi)ヒ粚有×⒎襟w，剩下部分恰好就是看不見的立方體。于是邊長(zhǎng)為n的立方體，看不見的小立方體有(n-1)3個(gè)，看得見的小立方體有 n3-(n-1)3=3n2-3n+1個(gè).,,開放題是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的,其主要特征:答案不惟一或答案的可能情況不惟一.從心理學(xué)視角加以分析,一道數(shù)學(xué)題是開放題還是封閉題,取決于該題對(duì)解題主體激發(fā)的思維之性質(zhì). 如果激發(fā)的思維是收斂的,就是

53、封閉題,因?yàn)榻忸}者是在復(fù)制別人設(shè)定的解法,遵循邏輯規(guī)則去尋求一個(gè)正確的答案,他的思維缺少創(chuàng)新性. 如果激發(fā)的思維是發(fā)散性的,就是開放題,因?yàn)榻忸}者會(huì)同時(shí)想到多個(gè)可能的解決方向,而不限于惟一答案或進(jìn)行鉆牛角尖式的探求,他在某些方面需要?jiǎng)?chuàng)造出新的思想和新的方法才能解決問(wèn)題.因此,思維的發(fā)散性是數(shù)學(xué)開放題的思維特征.數(shù)學(xué)開放題以其新穎的問(wèn)題內(nèi)容、生動(dòng)的問(wèn)題形式和問(wèn)題解決的發(fā)散性，給解題者發(fā)揮創(chuàng)造性思維提供了廣闊空間，為

54、培養(yǎng)解題者的創(chuàng)造能力提供了良好的載體，因此受到全世界數(shù)學(xué)教育界的高度重視。,數(shù)學(xué)開放題,數(shù)學(xué)命題根據(jù)思維形式一般可分成假設(shè)、推理、判斷三個(gè)要素。一個(gè)數(shù)學(xué)開放題，可視其未知要素作如下分類：①若未知要素是假設(shè)，則為條件開放題；②若未知要素是推理，則為策略開放題；③若未知要素為判斷，則為結(jié)論開放題；④若問(wèn)題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都要求解題者根據(jù)給出的情境自己尋求與設(shè)定，則可稱為綜合開放題。,數(shù)學(xué)開放題,,數(shù)學(xué)教育學(xué)是

55、思維活動(dòng)的教學(xué)，包含的問(wèn)題有:“教什么”“如何教”,斯多利亞爾、奧加涅相觀點(diǎn),,T·基蘭觀點(diǎn),數(shù)學(xué)教育學(xué)研究三個(gè)對(duì)象——課程、教學(xué)、學(xué)習(xí).好比三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)于課程設(shè)計(jì)者、教師和學(xué)生。他認(rèn)為，有關(guān)備課、教學(xué)和分析課堂活動(dòng)的研究，以及教學(xué)實(shí)驗(yàn)和定向的現(xiàn)象觀察，都屬于數(shù)學(xué)教育三角形的“內(nèi)部”；數(shù)學(xué)、心理學(xué)、哲學(xué)、技術(shù)手段、符號(hào)和語(yǔ)言等都屬于數(shù)學(xué)教育三角形的外部。,,橫地清觀點(diǎn),數(shù)學(xué)教育研究包括七個(gè)方面：①關(guān)于學(xué)習(xí)者的

56、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的研究；②關(guān)于教授——學(xué)習(xí)的研究；③關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的確定和教育課程的研究；④關(guān)于公共教育機(jī)關(guān)數(shù)學(xué)教育的研究；⑤關(guān)于數(shù)學(xué)在社會(huì)中作用的研究；⑥關(guān)于數(shù)學(xué)教育史的研究；⑦關(guān)于世界數(shù)學(xué)教育的研究。,,,,學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)：指學(xué)科的基本原理，是把每門學(xué)科的事實(shí)、零散的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)的基本概念、基本公式、基本法則等。掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的意義：(1)懂得基本原理可以使得學(xué)科更加容易理解。(2)掌握基本結(jié)構(gòu)有助于知識(shí)的記憶。(3)掌握基

57、本原理有助于學(xué)習(xí)的遷移。(4) 學(xué)習(xí)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，有利于縮小目前小學(xué)、中學(xué)乃至大學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中“低級(jí)”知識(shí)和“高級(jí)”知識(shí)之間的差距。,,發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí):即學(xué)生不是從教師的講述中得到一個(gè)概念或原則，而是在教師組織的學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生通過(guò)自己的頭腦親自獲得知識(shí)的一種方法。布魯納認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)是使學(xué)生的理智發(fā)展達(dá)到最高峰的有效手段。,,第四章 數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理論,[主要內(nèi)容] 1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的。2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則。 [關(guān)鍵詞

58、] 目標(biāo)，目的，數(shù)學(xué)教學(xué)目的，教學(xué)規(guī)律，教學(xué)原則，數(shù)學(xué)教學(xué)原則,4.1 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的,4.1.1 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù),1．依據(jù)黨的教育總方針、普通中學(xué)的性質(zhì)和任務(wù)、基礎(chǔ)教育培養(yǎng)目標(biāo)教育方針 “德、智、體”；“四有新人”；“三個(gè)面向”。在政治思想、文化科學(xué)知識(shí)、能力等方面提出了要求。具有鮮明的時(shí)代特色。普通中學(xué)的性質(zhì)與任務(wù)： 性質(zhì)——基礎(chǔ)教育，是幫助受教育者打下文化基礎(chǔ)和做好生活準(zhǔn)備的教育。 任務(wù)——為高一

59、級(jí)學(xué)校輸送合格新生，為四化建設(shè)培養(yǎng)優(yōu)良的勞動(dòng)后備力量（雙重性）。,基礎(chǔ)教育的培養(yǎng)目標(biāo)：“使學(xué)生熱愛社會(huì)主義，具有愛國(guó)主義精神、良好的道德行為規(guī)范，立志為人民服務(wù)。要使學(xué)生學(xué)好文化科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)能力，發(fā)展智力；要使學(xué)生身心得到正常的發(fā)展，具有健康的體質(zhì)；還要使學(xué)生有一定的審美能力，并初步掌握一些勞動(dòng)技能、職業(yè)技術(shù)技能?！?4.1.1 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù),4.1.1 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù),2. 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

60、目的要考慮數(shù)學(xué)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)的特點(diǎn) :(1)高度的抽象性;(2)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性 ;(3)應(yīng)用的廣泛性 ;(4)語(yǔ)言性 ;(5)幽美性 .,基于以上特點(diǎn),數(shù)學(xué)的教育價(jià)值表現(xiàn)為:①在德育方面：培養(yǎng)積極進(jìn)取的意志，求實(shí)精神，凈化心靈。②在智育方面：培養(yǎng)縝密周詳?shù)耐评砑皣?yán)密的運(yùn)算，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 ③在美育方面：培養(yǎng)審美情趣，激發(fā)對(duì)完美境界的追求。,數(shù)學(xué)的教育價(jià)值,4.1.1 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù),3. 確定中學(xué)數(shù)學(xué)

61、教學(xué)目的還要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、年齡特征和認(rèn)識(shí)水平(1)注意小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)知識(shí)、能力及學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣方面的銜接。(2)年齡特征與認(rèn)識(shí)水平。 主要對(duì)象是青少年, ①生理方面因素 ②心理方面因素,4.1.2 中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，是根據(jù)中學(xué)教育的任務(wù)，培養(yǎng)目標(biāo)，中學(xué)數(shù)學(xué)所能起的作用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)在“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本能力、個(gè)性品

62、質(zhì)、世界觀”等方面應(yīng)該完成的任務(wù)作出的規(guī)定，包括初高中兩個(gè)階段。 1.義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的(《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定)“使學(xué)生學(xué)好當(dāng)代社會(huì)中每一個(gè)公民適應(yīng)日常生活、參加生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，并進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和初步的辯證唯物主義的觀點(diǎn)。”概括起來(lái)，就是三句話： (1)學(xué)好雙基； (2)培養(yǎng)能力;

63、(3) 進(jìn)行思想教育。,10 關(guān)于基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)包括初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及數(shù)學(xué)思想方法等。 正確理解概念是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，而牢固掌握法則、性質(zhì)、定理、公式等數(shù)學(xué)命題和解題證題的思想方法則是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。 技能——是指完成某種任務(wù)的一種活動(dòng)計(jì)劃，通過(guò)練習(xí)而獲得。 數(shù)學(xué)基本技能是指按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫圖，進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。,20 關(guān)于培養(yǎng)能力

64、 能力——是完成學(xué)習(xí)和其他活動(dòng)任務(wù)的個(gè)性心理特征。它是心理特征，要以知識(shí)為基礎(chǔ)。（1）邏輯思維能力——正確、合理地進(jìn)行思考的能力，它在能力培養(yǎng)中起核心作用。具體地有觀察、比較、分析、綜合、概括、抽象等形成概念的能力；歸納、演繹、類比進(jìn)行推理論證的能力；分類與系統(tǒng)化形成知識(shí)體系的能力。這些能力表現(xiàn)在運(yùn)用它們時(shí)的正確性、條理性、合理性、敏捷性、靈活性和深刻性以及表述自己思想、觀點(diǎn)時(shí)的清晰、簡(jiǎn)明的程度上。（2）運(yùn)算能力——思維能力與運(yùn)

65、算技能的結(jié)合。①由法則按步驟進(jìn)行運(yùn)算；②分析條件，找簡(jiǎn)捷、合理的途徑與方法進(jìn)行運(yùn)算。,30 關(guān)于個(gè)性品質(zhì) 正確的學(xué)習(xí)目的，濃厚的學(xué)習(xí)興趣，頑強(qiáng)的學(xué)習(xí)毅力，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神與良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。培養(yǎng)個(gè)性品質(zhì)的辦法: (1)以數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,數(shù)學(xué)家富于獨(dú)創(chuàng)的史實(shí)，使學(xué)生真切地認(rèn)識(shí)到學(xué)好數(shù)學(xué)的必要性和迫切性。明確學(xué)習(xí)目的，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。(2)利

66、用我國(guó)數(shù)學(xué)史上的輝煌成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義思想和民族自豪感、自尊心，激勵(lì)學(xué)生為趕超世界先進(jìn)水平而刻苦學(xué)習(xí)。(3)通過(guò)概念的引入，定理的論證，習(xí)題的解答等各環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)精確的治學(xué)精神，有條不紊的工作作風(fēng)、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，堅(jiān)忍不拔的意志毅力，忠誠(chéng)正直的高尚品格。(4)發(fā)掘數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法中的辯證因素，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐第一，對(duì)立統(tǒng)一，運(yùn)動(dòng)變化等辯證唯物主義觀點(diǎn)。,2．普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)目的 “使學(xué)生學(xué)好從事社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)和進(jìn)一

67、步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和概率統(tǒng)計(jì)、微積分的初步知識(shí)，并形成基本技能；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新意識(shí)；進(jìn)一步培養(yǎng)良好的個(gè)性品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn)?！?它的基本內(nèi)容仍然是：學(xué)好雙基；培養(yǎng)能力；進(jìn)行思想教育。 但各部分內(nèi)容要求不同，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)，獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，進(jìn)行探索和研究。,3.初、高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)課程目標(biāo) （1）初中課程目標(biāo) 知識(shí)與

68、技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度等四個(gè)方面（詳見《標(biāo)準(zhǔn)》）。（2）高中課程目標(biāo) 知識(shí)與技能、方法與過(guò)程、情感態(tài)度與價(jià)值觀等三個(gè)方面（簡(jiǎn)稱“三維”目標(biāo)）。,思考題,1.確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù)是什么？ 2.數(shù)學(xué)課程目的與數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)有何異同？,4.2 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則,[主要內(nèi)容]一、教學(xué)原則的基本理論. 二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則. [關(guān)鍵詞]教學(xué)原則,教學(xué)規(guī)則,教學(xué)規(guī)律,嚴(yán)謹(jǐn)性,量力性,抽象性,具體性,4.2.

69、1 教學(xué)原則概說(shuō),1．教學(xué)原則的意義教學(xué)原則——指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)的基本原理，是客觀教學(xué)規(guī)律的主觀反映，是所有教學(xué)規(guī)則的統(tǒng)一整體。2．教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)律 (1)聯(lián)系：教學(xué)原則是教學(xué)規(guī)律的反映。教學(xué)原則是根據(jù)客觀教學(xué)規(guī)律制定出來(lái)的。 (2)區(qū)別：教學(xué)規(guī)律是不依人們的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，是教學(xué)活動(dòng)內(nèi)在的本質(zhì)的必然聯(lián)系。 如，復(fù)習(xí)教材就可以鞏固知識(shí)，這是一條教學(xué)規(guī)律，不管我們是否愿意遵循，它都是客觀存在的。我們對(duì)教學(xué)規(guī)律只能發(fā)現(xiàn)