概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程(魏宗舒第二版)5-6章答案_split_1

1、說明: 本習(xí)題答案是針對魏宗舒編寫的 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》 (第二版).5.1 設(shè)(𝑥𝑙, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛)及(𝑢1, 𝑢2, · · · , 𝑢𝑛)為兩組子樣的觀測值, 它們有如下關(guān)系:𝑢Ү

2、94; = 𝑥𝑖 ? 𝑎𝑏 , (𝑏 ?= 0, 𝑎為常數(shù))求子樣均值¯ 𝑢與¯ 𝑥, 子樣方差𝑆2 𝑢與𝑆2 𝑥的關(guān)系.解：¯ 𝑢 = 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=

3、1 𝑢𝑖 = 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=1𝑥𝑖 ? 𝑎𝑏 = 1𝑏(? 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=1 𝑥𝑖 ? 𝑎)?= 1𝑏 (¯ 𝑥 ? 𝑎)

4、𝑆2 𝑢 = 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=1 (𝑢𝑖 ? ¯ 𝑢)2 = 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=1(?𝑥𝑖 ? 𝑎𝑏 ? ¯ 𝑥 ? 𝑎𝑏)?2 =

5、1𝑏2[? 1𝑛𝑛 ∑?𝑖=1 (𝑥𝑖 ? ¯ 𝑥)2 ]?= 1𝑏2 𝑆2 𝑥.5.2 若子樣觀測值𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑚的頻數(shù)分別為𝑛1, &

6、#119899;2, · · · , 𝑛𝑚, 試寫出計算子樣平均數(shù)¯ 𝑥和子樣方差𝑆2 𝑛的公式(這里𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + · · · + 𝑛𝑚)解：¯ 𝑥 = 1⻕

7、9;𝑚 ∑?𝑖=1 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑆2 𝑛 = 1𝑛𝑚 ∑?𝑖=1 𝑚𝑖(𝑥𝑖 ? ¯ 𝑥)2.5.3 利用切比雪夫不等式求錢幣需拋擲多少次才能使子樣均值¯ ҵ

8、85;落在0.4到0.6之間的概率至少為0.9? 如何才能更精確地計算是概率接近0.9所需要的次數(shù)是多少?解：設(shè)需要擲𝑛次, 𝐸 ¯ 𝜉 = 0.5, 𝐷(¯ 𝜉) = 1 4𝑛.由切比雪夫不等式可得:𝑃(0.4 ≤ ¯ 𝜉 ≤ 0.6) = 𝑃(|¯ &

9、#120585; ? 0.5| ≤ 0.1) ≥ 1 ? 14𝑛 × (0.1)2 = 1 ? 25𝑛 ≥ 0.9 ? 𝑛 ≥ 250.所以由切比雪夫不等式估計, 至少需要擲250次才能使樣本均值落在0.4 到0.6之間的概率至少為0.9. ¯ 𝜉 ? 0.5 √?1/(4𝑛) = 2√𝑛(¯ 𝜉

10、 ? 0.5) 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 所以𝑃(0.4 ≤ ¯ 𝜉 ≤ 0.6) = 𝑃 (? 2√𝑛(0.4 ? 0.5) ≤ 2√𝑛(¯ 𝜉 ? 0.5) ≤ 2√𝑛(0.6 ? 0.5) )?= 2Φ(2√𝑛 × 0.1) ? 1 ≥ 0.9 ? Φ(0.2√𝑛

11、;) ≥ 0.95.其中Φ(𝑥)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布𝑁(0, 1)的分布函數(shù), 查表可得Φ(1.645) = 0.95. 因此0.2√𝑛 = 1.647 ? 𝑛 = 67.65, 因此至少要擲68次硬幣.5.4 若一母體𝜉 的方差𝜎2 = 4, 而¯ 𝜉是容量為100的子樣的均值. 分別利用切比雪夫不等式和極限定理求出一個

12、下界, 使得¯ 𝜉 ? 𝜇(𝜇為母體𝜉的數(shù)學(xué)期望𝐸𝜉)夾在這界限之間的概率為0.9.解：設(shè)𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝜇| ≤ 𝑎) ≥ 0.9. 注意到母體的數(shù)學(xué)期望為𝜇, 方差為𝜎2. 所以𝐸 ¯ x

13、585; = 𝜇, 𝐷¯ 𝜉 = 𝜎2/𝑛 = 1 25. 由切比雪夫不等式可知:𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝜇| ≤ 𝑎) ≥ 1 ? 𝐷¯ 𝜉𝑎2 = 1 ? 125𝑎2 ≥ 0.90 ? 1/(25

14、9886;2) ≤ 0.1 ? 𝑎 ≥ 0.4.故由切比雪夫不等式得到的界限是0.4.根據(jù)大數(shù)定律可知 ¯ 𝜉 ? 𝜇 √?1/25 = 5(¯ 𝜉 ? 𝜇)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 所以𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝜇| ≤ 𝑎) = 𝑃(5(¯ &#

15、120585; ? 𝜇) ≤ 5𝑎) = 2Φ(5𝑎) ? 1 ≥ 0.9? Φ(5𝑎) ≥ 0.95 ? 5𝑎 ≥ 1.645 ? 𝑎 ≥ 0.329.1(2). 若𝑝 ∈ (0, 1)為未知數(shù), 則對每個𝑝, 子樣容量𝑛為多大時才能使𝐸(|¯ 𝜉 ?

16、 𝑝|2) ≤ 0.01.解：記𝑞 = 1 ? 𝑝, 則√𝑛(¯ 𝜉 ? 𝑝)近似服從正態(tài)分布𝑁(0, 𝑝𝑞).(1).𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝑝| ≤ 0.1) = 𝑃( ? ?√𝑛(¯ &

17、#120585; ? 𝑝)/√𝑝𝑞 ? ? ≤ 0.1√𝑛 √𝑝𝑞 ) ≈ 2Φ(?0.1√𝑛 √𝑝𝑞)?? 1所以由𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝑝| ≤ 0.1) ≥ 0.75可得Φ(?0.1√𝑛 √𝑝ү

18、02;)?≥ 0.875. 查表得Φ(1.15) = 0.875, 因此0.1√𝑛/√𝑝𝑞 ≥ 1.15 ?𝑛 ≥ 11.52 × 𝑝𝑞 = 21.16, 即當(dāng)𝑛 ≥ 22時, 才能保證𝑃(|¯ 𝜉 ? 𝑝| ≤ 0.1) ≥ 0.75.②. 𝐸

19、;(|¯ 𝜉 ? 𝑝|2) = 𝐸(¯ 𝜉 ? 𝑝)2 = 𝐸(¯ 𝜉 ? 𝐸 ¯ 𝜉)2 = 𝐷¯ 𝜉 = 𝐷𝜉/𝑛 = 𝑝𝑞/&#

20、119899; = 0.16/𝑝. 所以要使𝐸(|¯ 𝜉 ? 𝑝|2) ≤ 0.01,只需 0.16𝑛 ≤ 0.01 ? 𝑛 ≥ 0.160.01 = 16, 故只有當(dāng)𝑛 ≥ 16, 才能使𝐸(|¯ 𝜉 ? 𝑝|2) ≤ 0.01.(2). 類似于(1)中的②

21、, 𝐸(|¯ 𝜉 ?𝑝|2) = 𝐷¯ 𝜉 = 𝑝(1?𝑝)𝑛 . 因此要使𝐸(|¯ 𝜉 ?𝑝|2) ≤ 0.01, 子樣容量𝑛必須≥ 𝑝(1?𝑝)0.01 =100𝑝(

22、1 ? 𝑝).5.8 設(shè)母體𝜉的𝑘階原點矩和中心矩分別為𝑣𝑘 = 𝐸𝜉𝑘, 𝜇𝑘 = 𝐸(𝜉 ? 𝑣1)𝑘, 𝑘 = 1, 2, 3, 4. 𝜉𝑘, 𝑚

23、𝑘分別為容量為𝑛的子樣𝑘階原點矩和中心矩, 求證:? 𝐸(¯ 𝜉 ? 𝑣1)3 = 𝜇3𝑛2 ;? 𝐸(¯ 𝜉 ? 𝑣1)4 = 3𝜇2𝑛2 + 𝜇4 ? 3𝜇2 2⻕

24、9;3 .解：令𝜂 = 𝜉 ? 𝑣1 = 𝜉 ? 𝐸𝜉, 𝜂𝑖 = 𝜉𝑖 ? 𝑣1, 那么𝜂1, 𝜂2, · · · , 𝜂𝑛就是來自總體𝜂的子樣, 并且

25、𝐸𝜂𝑘 𝑖 = 𝐸𝜂𝑘 =𝐸(𝜉 ? 𝑣1)𝑘 = 𝜇𝑘.令¯ 𝜂 = 1𝑛 ∑?𝑛 𝑖=1 𝜂𝑖, 那么¯

26、20578; = ¯ 𝜉 ? 𝑣1. 所以(1)𝐸(¯ 𝜉 ? 𝑣1)3 = 𝐸¯ 𝜂3 = 1𝑛3∑?𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝜂𝑖𝜂𝑗𝜂w

27、896;= 1𝑛3?? ?𝑛 ∑?𝑖=1 𝐸𝜂3 𝑖 + ∑?𝑖,𝑗,𝑘不全相等𝐸𝜂𝑖𝜂𝑗𝜂𝑘?? ?= 1𝑛3??𝑛𝜇3 + 3 ∑?

28、𝑖?=𝑗,𝑖?=𝑘 𝐸𝜂𝑖(𝜂𝑗𝜂𝑘)??= 1𝑛2 𝜇3 + 3𝑛3∑?𝑖?=𝑗,𝑖?=𝑘 𝐸𝜂𝑖&#

29、119864;(𝜂𝑗𝜂𝑘)= 𝜇3 𝑛2(2)𝐸(¯ 𝜉 ? 𝑣1)4 = 𝐸¯ 𝜂4 = 1𝑛4∑?𝑖,𝑗,𝑘,𝑙 𝐸𝜂w

30、894;𝜂𝑗𝜂𝑘𝜂𝑙= 1𝑛4??𝑛 ∑?𝑖=1 𝐸𝜂4 𝑖 + ∑?𝑖=𝑗?=𝑘=𝑙 𝐸𝜂2 𝑖 𝜂2 ⻕

31、6; + ∑?𝑖=𝑘?=𝑗=𝑙 𝐸𝜂2 𝑖 𝜂2 𝑗 + ∑?𝑖=𝑙?=𝑘=𝑗 𝐸𝜂2 𝑖 𝜂2 𝑗 + 𝐸 ∑?𝑒&#

32、119897;𝑠𝑒 𝜂𝑖𝜂𝑗𝜂𝑘𝜂𝑙??= 1𝑛4 (? 𝑛𝜇4 + 3𝑛(𝑛 ? 1)𝜇2 2 )? = 3(𝑛 ? 1)𝜇2 2𝑛3