《數(shù)學(xué)壓軸題中國正在解》110題

1、1.首先是翻譯：讀你的感覺像三月例 1. 函數(shù) ， ， ．2 1 ( ) ln 2 f x ax bx x ? ? ? 0 a ? (1) 0 f ? ?（1）①試用含有 的式子表示 ；②求 的單調(diào)區(qū)間； a b ( ) f x（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn) ， ，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn) （其中 1 1 ( , ) A x y 2 2 ( , ) B x y 0 0 ( , ) P x y在 與 之間） ，使得點(diǎn) 處的切線 ，則稱 存在

2、“伴隨切線” ，當(dāng) 時，又稱 0 x 1 x 2 x P // l AB AB1 20 2x x x ? ?存在“中值伴隨切線”．試問：在函數(shù) 的圖象上是否存在兩點(diǎn) 、 ，使得 存在“中值伴隨 AB ( ) f x A B AB切線”？若存在，求出 、 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． A B2.“萌萌噠”邂逅新概念例 2. 若數(shù)列 滿足: ，則稱數(shù)列 為 數(shù)列， 1 2 , , , n n A a a a ? ??? ( 2) n ?

3、1 1 k k a a ? ? ? ( 1,2, , 1) k n ? ??? ? n A E記 ． 1 2 ( ) n n S A a a a ? ? ?????（1）寫出一個滿足 ，且 的 數(shù)列 ； 1 5 0 a a ? ? ( ) 0 n S A ? E n A（2）若 ， ，證明： 數(shù)列 是遞增數(shù)列的充要條件是 ； 1 12 a ? 2000 n ? E n A 2011 n a ?（3）對任意給定的整數(shù) ，是否存在首項為 的

4、 數(shù)列 ，使得 ？如果存在，寫出一 ( 2) n n ? 0 E n A ( ) 0 n S A ?個滿足條件的 數(shù)列 ；如果不存在，說明理由. E n A3.再議審題：都云作者癡，誰解其中味？例 3. 設(shè) 是函數(shù) 的一個極值點(diǎn)． 3 x ? 2 3 ( ) ( )e x f x x ax b ? ? ? ?( ) R x?（1）求 與 的關(guān)系式（用 表示 ） ，并求 的單調(diào)區(qū)間； a b a b ( ) f x（2）設(shè) ， ．若存在

5、，使得 成立，求 的取值范 0 a ? 2 25 ( ) ( )e 4x g x a ? ? 1 2 , [0,4] ? ? ? 1 2 ( ) ( ) 1 f g ? ? ? ? a圍．8.要有分寸，別亂了方寸例 8. 已知函數(shù) . 1 ( ) ln ( 0) a f x x a x a x? ? ? ? ?（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； ( ) f x（2）求使函數(shù) 有零點(diǎn)的最小正整數(shù) 的值； ( ) f x a（3）證明： .3 2

6、6 19 6 ln( !) ln 2 12 ( 1)n n n n n n? ? ? ? ? ?* ( , 3) N n n ? ?9.僧敲月下門，為尋突破口例 9. 已知二次函數(shù) . 2 ( ) f x x ax b ? ? ? ? ? , R a b?（1）若方程 無實(shí)根，求證： ； ( ) 0 f x ? 0 b ?（2）若方程 有兩實(shí)根，且這兩實(shí)根是相鄰兩整數(shù)，求證： ； ( ) 0 f x ? 2 1 ( ) ( 1) 4

7、f a a ? ? ?（3）若方程 有兩非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明：存在整數(shù) ，使得 ( ) 0 f x ? k. 1 ( ) 4 f k ?10.與自然數(shù)有關(guān)，所以很自然例 10. 已知函數(shù) . ( ) ln f x x ?（1）若 在 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍； ( 1) ( ) ( ) 1m x x f x x ? ? ? ? ? ? ? 1,?? m（2)證明不等式： . 2 1 1 1 1 1 1 1