隨機(jī)二叉樹期權(quán)定價模型及模擬分析.pdf

1、上個世紀(jì)七十年代以來金融衍生產(chǎn)品的發(fā)展，是金融史上影響最為深遠(yuǎn)、最激動人心的變化之一。過去二十多年來，金融衍生產(chǎn)品始終保持了旺盛的生命力。在眾多的金融產(chǎn)品中，期權(quán)居于核心的地位。大量的結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品，如牛熊證、高息票據(jù)(ELN)、保本票據(jù)等，都包含了期權(quán)的成分。 自從期權(quán)交易產(chǎn)生以來，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來，大量學(xué)者一直致力于對期權(quán)定價問題的探討。1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes提出了著名的Bl

2、ack—Scholes期權(quán)定價模型(簡稱B—S模型)。B—S模型問世以來，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起強(qiáng)烈的反響，受到普遍的關(guān)注與好評，有的學(xué)者還對其準(zhǔn)確性進(jìn)行了多角度的檢驗。為了完善與發(fā)展B—S模型，很多研究對其進(jìn)行了擴(kuò)展。其中Cox，Ross和Rubinstein(1979)提出的二叉樹定價公式，簡單并且直觀，作為B—S模型的離散形式，得到了廣泛應(yīng)用。 本文以期權(quán)為對象，在全面綜述已有期權(quán)研究方法的基礎(chǔ)上，著重分析了期權(quán)定價的二叉樹

3、方法和三叉樹方法，包括最近發(fā)展的模糊二叉樹模型和模糊三叉樹模型。然后在CRR二叉樹定價模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的探索和創(chuàng)新。在現(xiàn)實的金融市場中，波動的異方差性廣泛存在，即實際中的股票波動性不是確定的(異方差)，而是隨機(jī)的。在傳統(tǒng)的二叉樹模型中，代表股票上漲和下降的幅度參數(shù)u和d是事先就知道的固定參數(shù)，在整個n個時期中都保持不變，也就是說股票的波動性是保持不變的。實際上，當(dāng)n很大時，即考慮的時間跨度比較大時，股票收益率的波動性不是固定的。為了

4、將股票收益率的波動性是變化的這一情況反映到模型中，本研究將u和d考慮為隨機(jī)變量，從而將期權(quán)的定價轉(zhuǎn)化為計算一個隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的問題。在這樣的思路下，模型中的隨機(jī)參數(shù)按照不同的分布，就可以得到對應(yīng)的期權(quán)定價。參數(shù)分布選擇越接近真實，定價效果就越好。 為了得到具有真實含義和可以計算的期權(quán)定價公式，本文根據(jù)參數(shù)的特點和實際含義，假設(shè)二叉樹參數(shù)服從一些特定的分布，包括β分布、正態(tài)分布等比較接近實際且能夠計算的隨機(jī)分布，然后通過復(fù)雜的數(shù)

5、學(xué)計算，得到了這些隨機(jī)分布下的二叉樹期權(quán)定價公式。 (Ⅰ)在第一個隨機(jī)參數(shù)二叉樹定價模型中，我們使用了β分布。根據(jù)模型中參數(shù)的實際意義，d/r和r/u都是介于0和1之間的連續(xù)隨機(jī)變量，而β分布是那些介于0和1之間的比率的隨機(jī)變量的最常用的假設(shè)分布之一，因此我們假設(shè)d/r和r/u是獨立隨機(jī)變量且分別服從Beta(．；β1，β2)和Beta(．；α1，α2)的情況下，經(jīng)過詳細(xì)論證，我們得到的期權(quán)定價公式是： 盡管A(κ)和B

6、(κ)的形式非常復(fù)雜，但由于這兩個數(shù)列都是絕對收斂的，因此在實際計算中可以采取近似估計，而且這個公式是完全的離散形式(表達(dá)式中沒有積分)，可以比較快的通過計算機(jī)得到近似結(jié)果，是一個可以在實際中應(yīng)用的定價公式。 (Ⅱ)在第二個隨機(jī)參數(shù)二叉樹定價模型中，我們使用了正態(tài)分布。由于模型中定義的新隨機(jī)變量X*=ln(X/1—X)和Y&=ln(Y/1—Y)是—∝到+∝之間的連續(xù)隨機(jī)變量，因此假設(shè)了X*和Y*服從正態(tài)分布。在此假設(shè)下，我們得到

7、新的期權(quán)定價公式是： (Ⅲ)在第三個隨機(jī)參數(shù)二叉樹定價模型中，我們進(jìn)一步假設(shè)無風(fēng)險利率也是隨機(jī)的，并選取三變量正態(tài)分布進(jìn)行計算，得到的期權(quán)定價公式是：這些特定隨機(jī)分布假設(shè)下的改進(jìn)模型，其解析解并無法直接計算，需要通過數(shù)值計算方法才能得到具體的期權(quán)定價。本研究采用了數(shù)學(xué)中的Hastings—Metropolis算法和重要取樣的Monte—Carlo數(shù)值積分方法，就公式的實現(xiàn)問題進(jìn)行了詳細(xì)分析。 我們使用我國證券市場中的五糧

8、液認(rèn)購權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證，香港市場中瑞士銀行發(fā)行的建設(shè)銀行權(quán)證的實際數(shù)據(jù)，采用B—S模型(由于本文考慮的模型是n很大時的情況，此時CRR二叉樹定價和B—S公式定價是非常接近的)和β分布下的隨機(jī)參數(shù)二叉樹模型(公式Ⅰ)分別進(jìn)行了模擬研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 第一，盡管B—S模型在數(shù)學(xué)形式上要比本文推導(dǎo)的隨機(jī)參數(shù)二叉樹模型簡單，但實際定價效果看，兩者相差不大。這表明B—S模型盡管看似假設(shè)多、形式簡單，但實際上與隨機(jī)形式下的定價結(jié)果很接近。B—S

9、模型形式簡潔、計算簡單、結(jié)果比較準(zhǔn)確，應(yīng)用面廣，這也是三十多年來沒有任何一個期權(quán)定價模型完全超越B—S模型的原因所在。 第二，對于五糧液認(rèn)購權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證，B—S模型和本文推導(dǎo)的隨機(jī)參數(shù)二叉樹模型都相差很大，兩個理論模型的結(jié)果與實際價格的模擬效果都很差。香港市場的建設(shè)銀行權(quán)證中實際價格與理論價格相對比較接近。 第三，對于五糧液認(rèn)沽權(quán)證，B—S模型與隨機(jī)參數(shù)二叉樹模型模擬效果都比較差，這并不能說明模型本身存在問題，主要是我

10、國證券市場中認(rèn)沽權(quán)證的非理性炒作造成權(quán)證價格極度偏離其內(nèi)在價值。 本研究結(jié)合作者的工作實踐，在拓展二叉樹定價方法上進(jìn)行了一定的探索。但限于水平和精力，模型還存在一些缺點和不足之處。從理論方法上看，作者先后嘗試過幾種可以考慮的，與現(xiàn)實比較接近的隨機(jī)變量分布，但何種假設(shè)是更加接近真實的，這個問題沒有得到很好的解答。從模型推導(dǎo)看，最終得到的公式比較復(fù)雜，在實際計算中需要高深的計算數(shù)學(xué)方法和較為復(fù)雜的編程來輔助解決。從實證研究的效果看，