次黎曼測(cè)地線的存在性與光滑性.pdf

1、本文研究次黎曼幾何（M,D，g）上的測(cè)地線問(wèn)題，其中M是一個(gè)光滑流形，g是一個(gè)定義在括號(hào)生成的分布D上的正定度量。我們知道，測(cè)地線都是極值，其中這些極值或者是“正態(tài)的”，或者是“非正態(tài)的”。其中正態(tài)極值都是局部最短線，我們稱(chēng)正態(tài)極值為正規(guī)測(cè)地線。是否每一條測(cè)地線都是正規(guī)測(cè)地線呢，許多年來(lái)一直這是個(gè)開(kāi)問(wèn)題，直到1991年，才被R.Montgamery解決，他舉出了一個(gè)反例。我們稱(chēng)這種不是正態(tài)極值的測(cè)地線為奇異測(cè)地線，它們與度量無(wú)關(guān)，只與分

2、布有關(guān)系。怎樣的分布一定（不）存在奇異測(cè)地線呢？在本文中，證明了如果分布D括號(hào)生成類(lèi)為(2，1，…，1)或者(2，1，…，1，2)的Carnot群，其上一定不存在奇異測(cè)地線。于是，可以立即知道，對(duì)于Goursat流形，其上一定不存在奇異測(cè)地線。而且，有下面推論，對(duì)于維數(shù)小于6的Carnot群，一定不存在奇異測(cè)地線。另外，我們構(gòu)造了一大類(lèi)Carnot群，其分布滿足條件（B1）（見(jiàn)定義3.2），其上一定存在奇異測(cè)地線。不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于Carno

3、t群，維數(shù)等于5是是否存在奇異測(cè)地線的分界線。
　　由于存在奇異測(cè)地線，一個(gè)自然的問(wèn)題是:所有的測(cè)地線都光滑嗎？因?yàn)檎?guī)測(cè)地線都是光滑曲線，那么這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)化為:所有的奇異測(cè)地線都光滑嗎？迄今為止，這個(gè)問(wèn)題是個(gè)開(kāi)問(wèn)題。在本文中，我們證明了如果分布D滿足[D[D，D]](∈) D，以及其子分布K也滿足[K,[K,K]](∈)K時(shí)，則奇異測(cè)地線都是光滑曲線。這是Montgomery的結(jié)果的推廣[31]。根據(jù)這個(gè)結(jié)果，可以得到李群上一些分

4、布使得所有奇異測(cè)地線都是光滑曲線。另外，我們證明了對(duì)于3維分布D滿足條件(B2)（見(jiàn)定義4.1），可以得到所有的次黎曼測(cè)地線都是光滑曲線。然后，我們構(gòu)造滿足條件(B2)的李群，其上一定存在嚴(yán)格非正態(tài)極值。最后，討論奇異測(cè)地線與剛性曲線的關(guān)系。我們能看到許多的奇異測(cè)地線都是剛性曲線[29][32]，那么是否所有的奇異測(cè)地線都是剛性曲線呢？我們證明了并非所有的奇異測(cè)地線都是剛性曲線，以及構(gòu)造不是剛性曲線的奇異測(cè)地線。
　　如果將次黎曼

5、度量換成一個(gè)D上的不定的非退化度量，這就產(chǎn)生了另一種幾何。其中最簡(jiǎn)單的一種情形是次洛倫茲度量，它是一個(gè)慣性指數(shù)為1的度量，這種幾何稱(chēng)為次洛倫茲幾何[60，55，52]。次洛倫茲幾何上存在三種測(cè)地線，類(lèi)時(shí)測(cè)地線，類(lèi)空測(cè)地線，類(lèi)光測(cè)地線。次洛倫茲測(cè)地線的研究要比次黎曼測(cè)地線要復(fù)雜的多。在這篇文章中，我們討論被賦予洛倫茲度量的Heisenberg群上的測(cè)地線。首先，研究了類(lèi)時(shí)將來(lái)曲線的可達(dá)到集，第二，給出了Hamiltonian測(cè)地線的完全描