次能量圖的構(gòu)造與刻畫.pdf

1、圖論在化學(xué)中的最重要的應(yīng)用之一,是基于圖的特征值和共軛碳?xì)浠衔镏笑?電子的分子軌道能量級(jí)之間的緊密對(duì)應(yīng)。在休克爾分子軌道近似下,大多數(shù)共軛碳?xì)浠衔锏摩?電子的總能量E滿足關(guān)系。這里,λi為表示共軛碳?xì)浠衔锏姆肿訄DG的特征值。等式(0.0.1)右邊對(duì)所有圖都有意義。于是,如果G是任意一個(gè)圖,我們用上面等式來(lái)定義E(G)并稱之為圖G的能量。目前認(rèn)為,理論化學(xué)家England和Ruedenberg最早考慮了刻畫滿足條件E(G)>n的(分

2、子)圖這個(gè)問(wèn)題。1973年,他們?cè)谖恼轮刑岢鲞@樣一個(gè)問(wèn)題,用圖譜理論的語(yǔ)言描述即:為什么圖的能量會(huì)超過(guò)頂點(diǎn)數(shù)?這里的圖指的是分子圖,即最大度不超過(guò)3的連通圖。n階圖G稱為次能量的,如果E(G)

3、n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的圖。連通圖G的圈數(shù)定義為c(G)=m-n+1,滿足c(G)=k的圖G稱為k-圈圖。特別地,滿足c(G)=0、1、2或者3的圖G分別稱為樹、單圈圖、雙圈圖和三圈圖。令Sn為n階星,對(duì)S3的兩個(gè)葉子頂點(diǎn)分別粘接兩條懸掛邊后得到的樹記為W,對(duì)S2的兩個(gè)頂點(diǎn)分別粘接兩條懸掛邊后得到的樹記為Q。2008年,Gut-man等人證明:S1、S3、S4和W是僅有的4棵最大度不超過(guò)3的次能量樹。
　　 本研究第二章刻畫了所有最大

4、度不超過(guò)3且能量小于等于頂點(diǎn)數(shù)的連通圖。確切地說(shuō),S1、S3、S4、W和完全二部圖K2,3是僅有的5個(gè)最大度不超過(guò)3的次能量連通圖；S2、Q、K2,2和K3,3是僅有的4個(gè)最大度不超過(guò)3且能量等于頂點(diǎn)數(shù)的連通圖。從而我們證明了Majstorovid等人提出的一個(gè)猜想。第三章中我們考慮了次能量和強(qiáng)次能量k-圈圖。我們首先考慮了次能量和強(qiáng)次能量樹,對(duì)任意給定的n和△,我們完全刻畫了最大度為△的n階次能量和強(qiáng)次能量樹的存在性。然后我們證明對(duì)任

5、意給定的k≥1,對(duì)所有(適當(dāng)大的)n和△,都存在最大度為△的n階次能量和強(qiáng)次能量k-圈圖。最后我們證明對(duì)△≥4,除了幾個(gè)較小的n的取值外,都存在最大度為△的n階次能量單圈圖、雙圈圖和三圈圖。這些結(jié)論大大擴(kuò)展了已有的次能量圖的結(jié)果。令a、b和c為整數(shù),1≤a