幾類(lèi)權(quán)函數(shù)變號(hào)的微分算子的譜.pdf

1、本文主要圍繞權(quán)函數(shù)變號(hào)的常微分算子的譜分析展開(kāi)研究。
　　 首先研究了一類(lèi)兩個(gè)邊界條件依賴(lài)于特征參數(shù)并且?guī)в修D(zhuǎn)移條件的權(quán)函數(shù)變號(hào)的Sturm-Liouville算子.由于兩個(gè)邊界條件均出現(xiàn)了譜參數(shù)，首先在Krein空間K：=(L2r，θ(I)()中定義一個(gè)與其相關(guān)的新算子A，使得所考慮問(wèn)題的特征值與新算子的特征值相同，特征函數(shù)是相應(yīng)特征函數(shù)的第一個(gè)分量.我們分別就新算子的自共軛性，實(shí)特征值的上下無(wú)界性，特征值的單重性，漸近性，特

2、征函數(shù)的漸近表達(dá)式極其完備性，Green函數(shù)，預(yù)解算子等內(nèi)容進(jìn)行了全面深入的分析，并將其推廣到具有有限個(gè)轉(zhuǎn)向點(diǎn)的情形，其中預(yù)解算子是用Green函數(shù)來(lái)刻畫(huà)的.研究過(guò)程中，我們尤其注意到了ρi(i=1，2)與θ的符號(hào)對(duì)算子A的譜性質(zhì)的影響。
　　 其次研究了一類(lèi)正則四個(gè)邊界條件依賴(lài)特征參數(shù)并且權(quán)函數(shù)變號(hào)的不連續(xù)四階微分算子.由于四個(gè)邊界條件均出現(xiàn)了譜參數(shù)，首先在Krein空間K：=()中定義一個(gè)與其相關(guān)的新算子A.我們分別就新算子

3、的自共軛性，實(shí)特征值的上下無(wú)界性，特征值的漸近性，特征函數(shù)的完備性，Green函數(shù)，預(yù)解算子，具有有限個(gè)轉(zhuǎn)向點(diǎn)的四階微分算子的譜分析等內(nèi)容進(jìn)行了深入的研究.與二階情形相比，四階的情形更為復(fù)雜.特別的，利用Green公式，驗(yàn)證了新算子是對(duì)稱(chēng)算子，并且通過(guò)基本解的建立得出問(wèn)題的特征值是整函數(shù)ω(λ)的零點(diǎn)，為下一步研究特征值的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).而且我們還注意到了在某一權(quán)函數(shù)下，θ的符號(hào)決定了空間L2r，θ(I)從而影響了算子A的點(diǎn)譜性質(zhì)。

4、r>　　 再次，我們考慮了奇型不定Sturm-Liouville算子與高階微分算子的局部可定型性，這里權(quán)函數(shù)r(x)更具一般化，其轉(zhuǎn)向點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是唯一的.引進(jìn)算子A-，Aab和A+，其中A-是反-Hilbert空間L2r-((-∞，a))中算子Amir-的自伴擴(kuò)張，A+是Hilbert空間L2r+((b，+∞))中算子Amin+的自伴擴(kuò)張且Aab是Krein空間L2rab((a，b))中算子Sab的自伴擴(kuò)張.如果算子A-上半有界并且A

5、+下半有界，這意味著L2r(R)上算子A的預(yù)解集非空，其本質(zhì)譜滿(mǎn)足σess(A)=σess(A-)Uσess(A+)，得出算子A在∞處具有局部可定型性。
　　 最后，我們又考慮了一類(lèi)兩端奇型的不定Sturm-Liouville算子的相似性，這里權(quán)函數(shù)r(x)的轉(zhuǎn)向點(diǎn)的個(gè)數(shù)也不唯一.給出算子A的邊界二元組，借助于相對(duì)應(yīng)的抽象的Wey1函數(shù)，得出算子A同自伴算子相似的必要條件和充分條件，并且列舉了幾個(gè)例子驗(yàn)證了這些結(jié)論。
　　

6、 本文共分六章，第一章引言，介紹本文所研究問(wèn)題的背景及本文的主要結(jié)果；第二章簡(jiǎn)單介紹常微分算子的Krein空間方法；第三章研究了一類(lèi)具有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件依賴(lài)于特征參數(shù)的帶有不定權(quán)函數(shù)的Sturm-Liouville算子的譜性質(zhì)；第四章研究了一類(lèi)邊界條件依賴(lài)于特征參數(shù)并且權(quán)函數(shù)變號(hào)的不連續(xù)四階微分算子的譜性質(zhì)；第五章考慮了奇型不定Sturm-Liouville算子與高階微分算子的局部可定型性；第六章討論了一類(lèi)兩端奇型的二階不定Stur