Dullin-Gottwald-Holm方程的雙線性問題及廣義Chebyshev映射的譜分解.pdf

1、本文研究?jī)?nèi)容主要分為兩部分：第一部分利用Hirota法研究了一類含線性色散項(xiàng)和非線性色散項(xiàng)的新型非線性淺水波方程即Dullin-Gottwald-Holm方程(簡(jiǎn)稱為DGH方程)的雙線性問題。DGH方程是DuUin，Gottwald和Holm從Euler方程出發(fā)，利用漸近擴(kuò)張思想研究無旋不可壓縮無粘淺層受地球重力和流體自身表面張力影響的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到的一類1+1維新型單向淺水波方程，它是一類完全可積型方程。第二部分研究了一種廣義Cheb

2、yshev映射的譜分解問題。 首先，我們利用倒數(shù)變換把DGH方程映射到一個(gè)與它關(guān)聯(lián)的雙系統(tǒng)方程，即聯(lián)合DGH方程。把類似的倒數(shù)變換應(yīng)用到DGH方程的Lax對(duì)中，通過引入恰當(dāng)?shù)膭?shì)函數(shù)得到了一組新的可積系統(tǒng)。這組可積系統(tǒng)中包含了DGH方程的變量u(x,t)。通過消掉該可積系統(tǒng)的一個(gè)變量得到一個(gè)(y，f)空間上的可積系統(tǒng)，該可積系統(tǒng)與BBM方程存在一定的聯(lián)系。BBM方程的雙線性已知，通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)法可以類似得到關(guān)聯(lián)DGH方程的雙線性形式

3、，即得到了DGH方程的雙線性形式，并由此得到了DGH方程的1-孤子解。 其次，討論了一類廣義Chebyshev映射的譜分解問題。為了構(gòu)建廣義Chebyshev映射在Frobenius-Perron算子下的一種譜分解。我們定義一種恰當(dāng)?shù)膶?duì)偶對(duì)或是裝備Hilbert空間，這給譜分解提供了一種數(shù)學(xué)上的意義。構(gòu)建帳篷映射在Frobenius-Perron算子下的一種譜分解，得到帳篷映射的特征值和特征向量。利用拓?fù)浯鷵Q把廣義Chebysh