部分因析設(shè)計(jì)的最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)及相關(guān)問題的研究.pdf

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的分支之一,它使研究人員能夠找到好的試驗(yàn),有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析并建立來自分析的結(jié)論和最初研究目標(biāo)之間的關(guān)系.常見的設(shè)計(jì)類型有因析設(shè)計(jì)、正交設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、區(qū)組設(shè)計(jì)、最優(yōu)設(shè)計(jì)和響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)等.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,試驗(yàn)涉及的因素個(gè)數(shù)眾多,且每個(gè)因素的水平也較多,此時(shí)完全因析設(shè)計(jì)要求的試驗(yàn)次數(shù)大大超過了人們的承受程度.從經(jīng)濟(jì)的角度出發(fā),通常采用部分因析設(shè)計(jì),它是完全因析設(shè)計(jì)的一個(gè)子集或部分.
　　 近二

2、十年來,關(guān)于部分因析設(shè)計(jì)的研究出現(xiàn)了很多重要的理論結(jié)果并在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用.部分因析設(shè)計(jì)分為正規(guī)部分因析設(shè)計(jì)和非正規(guī)部分因析設(shè)計(jì)兩類.正規(guī)設(shè)計(jì)有簡(jiǎn)單的別名結(jié)構(gòu),在正規(guī)設(shè)計(jì)中任何兩個(gè)效應(yīng)要么正交要么完全別名.另-方面,由于非正規(guī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)的經(jīng)濟(jì)性和靈活性等原因,它們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中被廣泛采用.示性函數(shù)對(duì)正規(guī)或非正規(guī)的因析設(shè)計(jì)給出了統(tǒng)一的多項(xiàng)式表示,為研究帶來了極大的方便.
　　 應(yīng)用部分因析設(shè)計(jì)的一個(gè)嚴(yán)重后果是因子效應(yīng)之間會(huì)產(chǎn)

3、生別名.利用折疊反轉(zhuǎn)技術(shù)來進(jìn)行跟隨試驗(yàn)是解除因子效應(yīng)別名的一種重要手段.在兩水平的因析設(shè)計(jì)中,為了解除因子效應(yīng)間的別名,通過對(duì)初始設(shè)計(jì)的某一列或多個(gè)列反號(hào)構(gòu)成的折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)來進(jìn)行跟隨試驗(yàn).由初始設(shè)計(jì)和由某個(gè)折疊反轉(zhuǎn)方案生成的設(shè)計(jì)一起所構(gòu)成的設(shè)計(jì)稱為組合設(shè)計(jì).折疊反轉(zhuǎn)的思想和技術(shù)已在相關(guān)的文獻(xiàn)中進(jìn)行了討論,并發(fā)現(xiàn)折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)具有很好的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)性質(zhì).值得注意的是現(xiàn)有關(guān)于最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案的研究中大多數(shù)都是基于混雜準(zhǔn)則或純凈效應(yīng)準(zhǔn)則.對(duì)兩水平

4、正規(guī)設(shè)計(jì),Fangand Mukcrjce(2000)建立了中心化L2-偏差與字長(zhǎng)型之間的解析關(guān)系,首次將均勻性與混雜這兩個(gè)看似互不相干的概念聯(lián)系起來,且均勻性準(zhǔn)則與混雜準(zhǔn)則幾乎是等價(jià)的.因此,用均勻性準(zhǔn)則替換混雜準(zhǔn)則來研究最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案是合理的、可行的.在所有的折疊反轉(zhuǎn)方案中,使得組合設(shè)計(jì)具有最小的偏差值的折疊反轉(zhuǎn)方案稱為是最優(yōu)的折疊反轉(zhuǎn)方案.另一方面,現(xiàn)有關(guān)于因析設(shè)計(jì)折疊反轉(zhuǎn)的研究主要針對(duì)兩水平的情形,在多水平的因析設(shè)計(jì)中,對(duì)因析

5、設(shè)計(jì)的列進(jìn)行反號(hào)的折疊反轉(zhuǎn)失去了意義,如何定義多水平的因析設(shè)計(jì)中的折疊反轉(zhuǎn)方案并在合適的準(zhǔn)則下討論其最優(yōu)的折疊反轉(zhuǎn)方案將是一個(gè)很重要的問題.
　　 區(qū)組設(shè)計(jì)是一類重要的試驗(yàn)設(shè)計(jì).它的基本思想來源于農(nóng)業(yè)和生物試驗(yàn),現(xiàn)在已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于科技、工程等各個(gè)領(lǐng)域.在試驗(yàn)中,常存在一些對(duì)響應(yīng)有影響但不可控的因素或我們并不關(guān)心的因素,在處理上常把這些因素稱為噪聲因素.若噪聲因素未知且不可控,可用隨機(jī)化安排試驗(yàn)降低其影響,若噪聲因素已知且可控,

6、常采用區(qū)組的方法消除其影響.對(duì)給定的區(qū)組設(shè)計(jì),其最優(yōu)的折疊反轉(zhuǎn)方案和相關(guān)性質(zhì),以及因析設(shè)計(jì)在同時(shí)考慮分區(qū)組和折疊反轉(zhuǎn)的最優(yōu)方案和性質(zhì)的討論將對(duì)理論和實(shí)際都非常有用.
　　 Doubling是構(gòu)造兩水平因析設(shè)計(jì)的一種簡(jiǎn)單而有效的方法,利用較小的設(shè)計(jì)通過Doubling的方法可以構(gòu)造大型的且具有很好性質(zhì)的設(shè)計(jì),如正交主效應(yīng)設(shè)計(jì),分辨度為Ⅳ或更高的設(shè)計(jì).Double設(shè)計(jì)具有很好的對(duì)稱結(jié)構(gòu),可以看成初始設(shè)計(jì)在一個(gè)特殊的折疊反轉(zhuǎn)方案下所構(gòu)

7、造的設(shè)計(jì).那么初始設(shè)計(jì)在一般的折疊反轉(zhuǎn)方案下按照同樣的方法構(gòu)造設(shè)計(jì)的性質(zhì)如何?在什么時(shí)候與Double設(shè)計(jì)等價(jià)?另外,在各種設(shè)計(jì)篩選準(zhǔn)則下Double設(shè)計(jì)與初始設(shè)計(jì)的解析聯(lián)系以及Double設(shè)計(jì)的均勻性的討論也非常有意義.
　　 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要任務(wù)是如何找到“好”的設(shè)計(jì)并有效的分析試驗(yàn)數(shù)據(jù),使得有更多的因子效應(yīng)或與顯著效應(yīng)相關(guān)的模型能被估計(jì),即一個(gè)好的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是用最少的試驗(yàn)次數(shù)獲得最多的有用信息.對(duì)于什么樣的設(shè)計(jì)是“好”的設(shè)

8、計(jì),人們基于各種不同的角度或者模型給出了各種設(shè)計(jì)篩選準(zhǔn)則.Fang,Ma and Mukerjcc(2002)基于設(shè)計(jì)正交的角度提出了B-準(zhǔn)則用于衡量對(duì)稱設(shè)計(jì)的正交性.基于方差分析(ANOVA)模型,Xu and Wu(2001)提出了廣義最小低階混雜準(zhǔn)則.Yue(2001)基于一個(gè)泛函ANOVA分解模型提出了漸近貝葉斯準(zhǔn)則.那么這些基于不同統(tǒng)計(jì)模型或角度的設(shè)計(jì)篩選準(zhǔn)則的是否有聯(lián)系?
　　 兩水平設(shè)計(jì)是一類最簡(jiǎn)單且應(yīng)用廣泛的設(shè)計(jì)

9、,關(guān)于兩水平設(shè)計(jì)的均勻性在最近的設(shè)計(jì)文獻(xiàn)中受到了廣泛的關(guān)注.均勻設(shè)計(jì)采用偏差來衡量設(shè)計(jì)的均勻性,均勻性準(zhǔn)則要求設(shè)計(jì)具有最小的偏差.因此,衡量均勻性的偏差的下界是一個(gè)重要的基準(zhǔn).現(xiàn)有的關(guān)于偏差的下界在很多時(shí)候,甚至在兩水平的情形都不是緊的.因此,如何對(duì)偏差的下界進(jìn)行改進(jìn)將是一個(gè)重要的問題,特別是對(duì)于均勻設(shè)計(jì)的構(gòu)造.
　　 基于以上考慮,本論文主要進(jìn)行了以下五個(gè)方面的工作:
　　 (1)討論了兩水平設(shè)計(jì)的均勻折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì),并

10、把折疊反轉(zhuǎn)的概念推廣到多水平的情形,討論了非對(duì)稱設(shè)計(jì)的均勻折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì),得到了組合設(shè)計(jì)的偏差的一些下界.
　　 (2)討論了非正規(guī)兩水平區(qū)組設(shè)計(jì)的最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案,以及非正規(guī)兩水平設(shè)計(jì)同時(shí)分區(qū)組和折疊反轉(zhuǎn)的最優(yōu)方案和性質(zhì);
　　 (3)利用折疊反轉(zhuǎn)技術(shù),提出了廣義Double設(shè)計(jì)的概念并討論了相關(guān)的性質(zhì),并討論了在各種設(shè)計(jì)篩選準(zhǔn)則下Double設(shè)計(jì)與初始設(shè)計(jì)的解析聯(lián)系及Double設(shè)計(jì)的均勻性;
　　 (4)對(duì)非

11、對(duì)稱因析設(shè)計(jì)討論了漸近貝葉斯準(zhǔn)則、廣義最小低階混雜準(zhǔn)則及B-準(zhǔn)則之間的聯(lián)系以及漸近貝葉斯準(zhǔn)則緊的下界;
　　 (5)給出了兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)及其余設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差更緊的下界.
　　 下面簡(jiǎn)要介紹一下各章的內(nèi)容.
　　 第一章概述了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的相關(guān)背景及論文的創(chuàng)新點(diǎn)和結(jié)構(gòu).
　　 第二章簡(jiǎn)要介紹了基本概念、符號(hào),并給出后面章節(jié)要用到的相關(guān)引理和結(jié)論.
　　 第三章討論了兩水平部分因析設(shè)計(jì)在均勻性準(zhǔn)則

12、下的最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案.由于中心化L2-偏差與因析設(shè)計(jì)中的混雜準(zhǔn)則有非常密切的關(guān)系(Fang and Mukerjce,2000),基于中心化L2-偏差的均勻性準(zhǔn)則與混雜準(zhǔn)則幾乎是等價(jià)的,因此,用均勻性準(zhǔn)則替換混雜準(zhǔn)則來研究最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案有其合理性.本章討論了兩水平設(shè)計(jì)在任意折疊反轉(zhuǎn)方案下的組合設(shè)計(jì)的均勻性,給出了組合設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差的一些下界,并以這些下界為基準(zhǔn)來尋找最優(yōu)的折疊反轉(zhuǎn)方案.
　　 第四章討論了混水平部分因析

13、設(shè)計(jì)在均勻性準(zhǔn)則下的最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案.由于有些實(shí)際問題兩水平試驗(yàn)是不夠的,要求我們研究多于兩水平的因子.因此,本章把折疊反轉(zhuǎn)的概念推廣到多水平的情形,并基于可卷型L2-偏差討論了混水平設(shè)計(jì)在任意折疊反轉(zhuǎn)方案下的組合設(shè)計(jì)的均勻性,給出了組合設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的下界,并以這些下界為基準(zhǔn)來尋找最優(yōu)的折疊反轉(zhuǎn)方案.
　　 第五章討論了分區(qū)組和折疊反轉(zhuǎn)兩種技術(shù)都應(yīng)用到非正規(guī)兩水平設(shè)計(jì)的相關(guān)問題.分區(qū)組是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的一種控制系統(tǒng)噪聲的常

14、用技術(shù).對(duì)于一個(gè)給定的分區(qū)組正規(guī)兩水平設(shè)計(jì),Li and Jacroux(2007)在兩個(gè)最優(yōu)性準(zhǔn)則下通過算法搜索了最優(yōu)處理折疊反轉(zhuǎn)方案.Ai,Xu and Wu(2010)考慮了當(dāng)分區(qū)組和折疊反轉(zhuǎn)兩種技術(shù)同時(shí)應(yīng)用到兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)時(shí)的最優(yōu)方案,并得到了初始設(shè)計(jì)與在任意折疊反轉(zhuǎn)方案下的組合區(qū)組設(shè)計(jì)間密切聯(lián)系.在本章中,將利用示性函數(shù)這一有力的工具來討論如下兩個(gè)問題:一是非正規(guī)兩水平區(qū)組設(shè)計(jì)的最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案,進(jìn)一步完善Li,Lin and

15、 Ye(2003)和Li and Jacroux(2007)的結(jié)果,二是分區(qū)組和折疊反轉(zhuǎn)兩種技術(shù)同時(shí)應(yīng)用到非正規(guī)兩水平設(shè)計(jì)時(shí)的最優(yōu)方案,把Ai,Xu and Wu(2010)的結(jié)果由兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)推廣到非正規(guī)兩水平設(shè)計(jì).為方便使用,本章還列出了有12,16,20次試驗(yàn)的非正規(guī)兩水平設(shè)計(jì)的相關(guān)結(jié)果.
　　 第六章探討了折疊反轉(zhuǎn)技術(shù)在Double設(shè)計(jì)中的應(yīng)用及相關(guān)問題.本章首先利用折疊反轉(zhuǎn)技術(shù)把Double設(shè)計(jì)的概念進(jìn)行推廣,提出了

16、廣義Double設(shè)計(jì)的概念并利用示性函數(shù)討論了相關(guān)性質(zhì),然后在幾種流行的設(shè)計(jì)篩選準(zhǔn)則下,如:E(s2)準(zhǔn)則,最小矩混雜準(zhǔn)則,廣義最小低階混雜準(zhǔn)則和最小投影均勻性準(zhǔn)則,討論了Double設(shè)計(jì)與其初始設(shè)計(jì)間的解析聯(lián)系,最后討論了Double設(shè)計(jì)的均勻性.
　　 第七章建立了非對(duì)稱因析設(shè)計(jì)的漸近貝葉斯準(zhǔn)則、廣義最小低階混雜準(zhǔn)則及B-準(zhǔn)則之間的聯(lián)系以及漸近貝葉斯準(zhǔn)則緊的下界.針對(duì)非參數(shù)響應(yīng)曲面預(yù)測(cè)問題,Yue(2001)基于Mitche

17、ll et al.(1994)的貝葉斯?jié)u近方法對(duì)該問題刻畫了一個(gè)貝葉斯模型并提出了漸近貝葉斯準(zhǔn)則,其中響應(yīng)的先驗(yàn)是一個(gè)泛函ANOVA分解模型.Yueand Wu(2004),Yue and Chatterjee(2009)和Yue,Qin and Chatterjee(2011)分別基于幾個(gè)不同的協(xié)方差核函數(shù)研究了對(duì)稱U-型設(shè)計(jì)的有一個(gè)或多個(gè)響應(yīng)的非參數(shù)貝葉斯回歸問題.本章基于更一般的協(xié)方差核函數(shù)研究了幾種基于不同的統(tǒng)計(jì)模型的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則間

18、的聯(lián)系,進(jìn)一步把Yue and Wu.(2004)和Yue and Chatterjee(2009)的結(jié)果推廣到非對(duì)稱因析設(shè)計(jì).
　　 第八章給出了兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)及其余設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差更緊的下界.度量均勻性的偏差準(zhǔn)則中,中心化L2-偏差的應(yīng)用最為廣泛.在本章,我們把兩水平設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差表示為其示性函數(shù)的系數(shù)的二次型,然后得到了兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)及其余設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差的一些新的下界,數(shù)值例子表明這下界是緊的,并且比