最優(yōu)形狀設計問題數(shù)值方法的研究.pdf

1、最優(yōu)形狀設計的研究具有重要的工業(yè)應用價值和廣闊的發(fā)展前景。本文主要研究和構造快速有效的算法數(shù)值求解最優(yōu)形狀設計問題。我們對最優(yōu)形狀設計領域已有的水平集方法進行改進，用分段常數(shù)水平集方法求解三個模型問題。我們的方法能夠處理復雜的形狀和拓撲變化，而且不需要周期性的執(zhí)行重新初始化過程。通過引進一個分段常數(shù)約束，最優(yōu)形狀設計問題轉化為一個新的約束優(yōu)化問題。我們用拉格朗日乘子方法和增廣拉格朗日方法將該問題進行無約束化，然后用梯度法進行求解。與傳統(tǒng)

2、水平集方法的數(shù)值比較說明了我們算法的有效性。本文的結構如下：
　　 第一章首先介紹了最優(yōu)形狀設計領域的研究背景。我們對形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化已有的理論和數(shù)值方法進行了綜述。然后我們介紹了形狀導數(shù)的概念，對一個經(jīng)典的模型問題用“擾動法”推導了目標泛函關于形狀擾動的歐拉導數(shù)的表達式并給出了求解該問題的梯度型算法。最后我們簡單介紹了拓撲導數(shù)的數(shù)學定義。
　　 在第二章中，我們首先介紹了傳統(tǒng)的水平集方法，然后分別介紹了近年來出現(xiàn)的水

3、平集方法的變種：分段常數(shù)水平集方法和二值水平集方法。另外，我們對這些水平集方法進行了比較。
　　 第三章主要用分段常數(shù)水平集方法解一類特征值相關的最優(yōu)形狀設計問題。基于增廣拉格朗日方法和拉格朗日乘子法，我們對所求的約束優(yōu)化問題提出了三種變分算法。第一種增廣的拉格朗日算法在文獻中已被應用到結構形狀優(yōu)化。該算法對我們的模型依然有效。但是，迭代過程中在幾何約束的滿足方面，它缺少穩(wěn)定性和精確性。我們提出的另外兩種新穎算法能夠克服這個局限

4、性，每次迭代都能很好的滿足幾何約束。而且，這兩種算法對初始猜測值的依賴性都比較小，比第一種算法要穩(wěn)健。從數(shù)值結果中我們發(fā)現(xiàn)，最后一種沒有罰參數(shù)的投影拉格朗日算法比前兩種算法對時間步長的限制要小。在數(shù)值實驗部分，我們給出了很多不同例子的數(shù)值結果。與水平集方法得到結果的比較顯示了我們算法的有效性和穩(wěn)健性。最后，我們給出了二維不規(guī)則區(qū)域和三維規(guī)則區(qū)域上的數(shù)值例子。
　　 在第四章，我們用一個分段常數(shù)水平集方法求解一類由橢圓邊值問題控制

5、的形狀和拓撲優(yōu)化問題。通過“虛擬材料”方法，我們用一個二相最優(yōu)設計問題去逼近原來的模型。在分段常數(shù)水平集方法的框架下，我們首先把這個二相問題轉變成一個新的關于水平集函數(shù)的約束優(yōu)化問題。然后，我們用投影拉格朗日方法去求解這個問題，給出了一個梯度型算法。我們的數(shù)值結果與水平集方法得到的進行比較表明了我們算法的快速有效性。
　　 在第五章，我們用二值水平集方法去解一個經(jīng)典的結構拓撲優(yōu)化問題。為了提高算法的執(zhí)行效率，我們把多水平的方法加