分區(qū)組的因析設(shè)計的構(gòu)造與性質(zhì).pdf

1、因析試驗(yàn)在我們所涉及的各個研究領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.一般地,這樣的試驗(yàn)有一個輸出變量,該輸出變量依靠一些可控的輸入變量,這些輸入變量被稱為因子。每-個因子都有兩個或更多個水平.所有因子的任-水平組合被稱為一理組合或安排。通常我們安排一個具有n個因子的試驗(yàn),這些因子分別有s1,…,sn個水平.如果s1=,…,=sn=s,該試驗(yàn)稱為對稱的；否則稱為非對稱的或混水平的。-個完全的因析試驗(yàn)要安排所有的因子水平組合,而且隨著因子個數(shù)的增加水平組合的

2、數(shù)量增加的特別快.因此當(dāng)n比較大時(比如n>7)完全因析試驗(yàn)很少使用.取而代之,部分因析(FF)試驗(yàn)被廣泛采用,它是由完全因析試驗(yàn)的一部分處理組合構(gòu)成的。FF設(shè)計被分為兩大類:正規(guī)的和非正規(guī)的.一個FF設(shè)計稱為正規(guī)的,如果它是用因子問的定義關(guān)系所確定的,否則稱為非正規(guī)的.在本文大多數(shù)情況中,我們只考慮正規(guī)的兩水平設(shè)計。FF設(shè)計是把其處理組合用完全隨機(jī)的方法分配到所有的試驗(yàn)單元.這種分配方式對所有試驗(yàn)單元是齊性的時候是合適的。事實(shí)上這樣的

3、齊性并不是總成立的,特別當(dāng)試驗(yàn)單元的數(shù)量比較大的時候.一個合理的對策是將所有試驗(yàn)單元分成一些齊性的組,這些組稱為區(qū)組,然后在每一個區(qū)組中實(shí)現(xiàn)隨機(jī)化.比如,天,星期,批次,堆,等等都可以作為區(qū)組.如果試驗(yàn)單元分區(qū)組是有效的,則區(qū)組內(nèi)的變差應(yīng)當(dāng)明顯小于區(qū)組間的變差。
　　 在正規(guī)區(qū)組設(shè)計中,分配2n-m設(shè)計到2r個區(qū)組中等價于選定r個獨(dú)立的定義字,這些定義字生成2r-1個區(qū)組效應(yīng),每個區(qū)組效應(yīng)都和2m個處理效應(yīng)混雜.我們用2n-m:

4、2r表示這樣的區(qū)組設(shè)計.在2n-m:2r設(shè)計中,我們用Ai,0和Ai,1分別表示字長為i的只含處理因子的定義字的個數(shù),以及含有區(qū)組因子和i個處理因子的定義字的個數(shù).對2n-m:2r設(shè)計,我們再陳述一下一般被公認(rèn)的假設(shè)：⑴區(qū)組×處理交互效應(yīng)是可忽略的；⑵盡管存在區(qū)組效應(yīng),但是區(qū)組設(shè)計的目的是估計處理因子的效應(yīng),而對區(qū)組效應(yīng)的估計不感興趣；⑶A1,0=A2.0=A0,1=A1,1=0；⑷區(qū)組主效應(yīng),區(qū)組×區(qū)組交互效應(yīng),更多的區(qū)組因子的交互效

5、應(yīng)被看成是同等重要的。但是假設(shè)(4)在有些情況下是不合理的.我們用b1,b2…,br表示r個區(qū)組因子,即區(qū)組主效應(yīng)。這些即區(qū)組主效應(yīng)的乘積生成各階區(qū)組交互效應(yīng).區(qū)組主效應(yīng),區(qū)組×區(qū)組交互效應(yīng),更多的區(qū)組因子的交互效應(yīng)可能不是同等重要的.比如。在一個設(shè)計中,b1表示兩個批次,b2表示白天和夜間,b3表示兩個工人。我們很難給出關(guān)于區(qū)組效應(yīng)b1b2,b1b3,b2b3,b1b2b3的解釋.因此假設(shè)b1,b2比b1b2更顯著或更重要是合理的(S

6、itter et al.1997,p.389 and Wu and Hamada2000,p.131),并且假設(shè)b1b2比b1b2b3更重要也是合理的.就像處理效應(yīng)中有效應(yīng)排序原理,排序原理在區(qū)組效應(yīng)中也應(yīng)當(dāng)成立.因此,在區(qū)組設(shè)計中,3階或更高階的區(qū)組效應(yīng)是可被忽略的.我們有下面的假設(shè)：(4’)我們可以忽略3階或更高階的區(qū)組交互效應(yīng)。
　　 本文稱滿足假設(shè)(1),(2),(3),(4)的區(qū)組設(shè)計為第一類區(qū)組設(shè)計,稱滿足假設(shè)(1)

7、,(2),(3),(4’)的區(qū)組設(shè)計為第二類區(qū)組設(shè)計。目前,在正規(guī)區(qū)組設(shè)計中,有三類準(zhǔn)則.第一類準(zhǔn)則是以最小低階混雜(MA)準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的.MA準(zhǔn)則可以被分別應(yīng)用于區(qū)組設(shè)計中的處理字長型和區(qū)組字長型.可是一種字長型的MA設(shè)計在另一種字長型下可能不是MA設(shè)計.Sunet al(1997),Mukerjee和Wu(1999)引入可允許區(qū)組設(shè)計,但是有時得到的可允許區(qū)組設(shè)計太多.還有一種把處理字長型和區(qū)組字長型結(jié)合成單一的字長型,我們稱為結(jié)合字

8、長型。對于2n-m:2r設(shè)計有四種區(qū)組最小低階(BMA)準(zhǔn)則,它們分別對應(yīng)四個不同的結(jié)合字長型.每一個準(zhǔn)則都是依次最小化相應(yīng)的字長型中的每一項(xiàng),并且在每一個準(zhǔn)則下最優(yōu)的設(shè)計都被稱為BMA(chen et al.2006)設(shè)計.這四個結(jié)合字長型是由Sitter et al.(1997),Chen和Cheng(1999),Zhang和Park(2000),Cheng和Wu(2002),Cheng和Wu(2002).提出的。第二類準(zhǔn)則是以純凈

9、效應(yīng)(CE)準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的.目前很少有文章專門在區(qū)組設(shè)計中討論基于CE準(zhǔn)則的最優(yōu)設(shè)計,然而在Wu和Hamada(2000)中CE準(zhǔn)則已經(jīng)被應(yīng)用于區(qū)組設(shè)計的評價中.因此我們把這個準(zhǔn)則看成區(qū)組設(shè)計中的一種特殊類型的準(zhǔn)則。第三類準(zhǔn)則是以最大估計容量(MCE)準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的.目前僅有少數(shù)幾篇文章利用此準(zhǔn)則討論區(qū)組設(shè)計.可是在非區(qū)組的FF設(shè)計中已經(jīng)有關(guān)于這個準(zhǔn)則的-些結(jié)果(比如,Sun1993,Cheng和Mukerjee1998),該準(zhǔn)則可能成為區(qū)

10、組設(shè)計中的一個潛在的研究課題.因此我們將對該準(zhǔn)則加以關(guān)注.
　　 本研究注意下列事實(shí)：在很多情況下,現(xiàn)存的這些準(zhǔn)則導(dǎo)致不同的最優(yōu)設(shè)計.我們自然要提出一個問題,在一個公認(rèn)的原則下,例如,效應(yīng)排序原則下,這些準(zhǔn)則中哪一個是最好的?對任意給定的一組參數(shù),這些現(xiàn)存的準(zhǔn)則中是否有一個能真正給出效應(yīng)排序原則下的最優(yōu)設(shè)計?這些現(xiàn)存的準(zhǔn)則間本質(zhì)的區(qū)別是什么?怎祥考慮由處理定義字和區(qū)組定義字生成的定義子群G中所包含的信息?是否存在-個更合理的準(zhǔn)則

11、使其能夠在區(qū)組設(shè)計中真實(shí)地體現(xiàn)效應(yīng)排序原則?在本文中,我們試圖回答這些問題。最近,Zhang,Li,Zhao和Ai(2008,簡稱為ZLZA)在2n-m設(shè)計中引進(jìn)-個新的混雜模型,稱為混雜效應(yīng)個數(shù)模型(AENP),在此基礎(chǔ)上,提出-個新準(zhǔn)則,-般最小低階混雜(GMC)準(zhǔn)則.他們證明了,在效應(yīng)排序原則下,由GMC準(zhǔn)則導(dǎo)致的最優(yōu)設(shè)計比MA,CE準(zhǔn)則好很多.接下來,Zhang和Mukerjee(2009)通過補(bǔ)集合的方法對GMC準(zhǔn)則做了研究.

12、
　　 本研究第一章到第五章中,引進(jìn)了評價正規(guī)區(qū)組設(shè)計的新的混雜模型,區(qū)組混雜效應(yīng)個數(shù)模型(BAP).我們又給出關(guān)于區(qū)組設(shè)計的構(gòu)造方面的性質(zhì).在BAP的基礎(chǔ)上,我們給出兩個新準(zhǔn)則,B1-GMC準(zhǔn)則和B2-GMC準(zhǔn)則,其分別對應(yīng)于我們的第一類區(qū)組設(shè)計及第二類區(qū)組設(shè)計.接下來,我們我們對現(xiàn)存的四個BMA準(zhǔn)則及CE準(zhǔn)則做了比較,并且對B1-GMC準(zhǔn)則和B2-CMC準(zhǔn)則進(jìn)行了比較.我們也給出區(qū)組設(shè)計的MEC準(zhǔn)則與BAP的關(guān)系.在附表中我

13、們給出16-,32-,64-和128-run B1-GMC設(shè)計和B2-GMC設(shè)計并且和現(xiàn)存的其它準(zhǔn)則進(jìn)行比較。在第六章中,我們對非正規(guī)的區(qū)組設(shè)計做了討論。裂區(qū)(FFSP)設(shè)計可以看成一種特殊的區(qū)組設(shè)計.FFSP設(shè)計在工業(yè)的試驗(yàn)中有廣泛的應(yīng)用,其中試驗(yàn)的一些因子的水平難以改變或改變因子水平的費(fèi)用比較高,而FFSP設(shè)計包含兩階段的隨機(jī)化為此提供了一個好的策略.在FFSP設(shè)計中,水平難以改變的因子被稱為整區(qū)(WP)因子,水平比較容易改變的因子

14、被稱為子區(qū)(SP)因子.Box和Jones(1992)對這類設(shè)計做了很精彩的討論。到目前為止,關(guān)于選取最優(yōu)的FFSP設(shè)計的結(jié)果都是在MA類型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.Huang,Chen和Voelkel(1998)在薄膜覆蓋材料的試驗(yàn)中采用了MA-FFSP準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計.Bingham和Sitter(1999)給出一系列構(gòu)造性的方法,并且通過-個基礎(chǔ)性的算法得到8-,16-run的兩水平的MA-FFSP設(shè)計表.也是在兩水平的情況下,Bingha

15、m和Sitter(2001)給出32-run MA-FFSP設(shè)計表.另一方面,裂區(qū)設(shè)計中WP因子和SP因子是不能互換的,所以常常存在幾個非同構(gòu)的FFSP設(shè)計都是MA設(shè)計.為了解決這一問題,Mukerjee和Fang(2002)提出最小二級混雜(MSA)準(zhǔn)則,稱為MA-MSA-FFSP準(zhǔn)則,這樣明顯縮小了非同構(gòu)的MA設(shè)計的選取范圍,而且通常給出唯一的MA類型的最優(yōu)設(shè)計.Ai和Zhang(2006)用協(xié)同設(shè)計的方式構(gòu)造MA-MSA-FFSP

16、設(shè)計.Yang,Zhang和Liu(2007)用弱MA的方法構(gòu)造這類設(shè)計.Yang,Li,Liu和Zhang(2006)和Zi,Zhang和Liu(2006)討論了這類設(shè)計中的純凈效應(yīng).FFSP設(shè)計的另-研究方向是關(guān)于D-最優(yōu)設(shè)計,比如,Goos和Vandebroek(2001,2003),Goos(2006)和Jones和Goos(2009)。然而,在許多情況下,MA-MSA-FFSP設(shè)計在效應(yīng)估計時不一定是最好的設(shè)計.因此我們試圖構(gòu)

17、造更好的準(zhǔn)則來挑選FFSP設(shè)計。在第七章中,我們把ZLZA的準(zhǔn)則推廣到FFSP設(shè)計中,給出GMC-FFSP準(zhǔn)則.我們建立了一個新準(zhǔn)則,并且對GMC-FFSP準(zhǔn)則和MA-MSA-FFSP準(zhǔn)則進(jìn)行比較.接下來,我們給出搜索GMG-FFSP設(shè)計和MA-MSA-FFSP設(shè)計的算法.最后給出直到14個因子的32-run的最優(yōu)設(shè)計表。Taguchi(1987)提出穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(或參數(shù)設(shè)計),它是統(tǒng)計學(xué)及工程中的一種方法.這種設(shè)計通過適當(dāng)選取控制因子

18、的水平組合使其對噪聲因子的變化不靈敏,從而達(dá)到減小生產(chǎn)過程所帶來的變差.參數(shù)設(shè)計試驗(yàn)中的因子被分成兩種類型:控制因子和噪聲因子.控制因子是一組變量,其取值可以被調(diào)整,但是一旦被選取后就固定下來.控制因子可以是,反映的溫度,時間,催化劑的類型,濃度.相反地,噪聲因子也是一組變量,其水平組合在正常的生產(chǎn)過程和使用條件下難以控制.噪聲因子可以是生產(chǎn)過程中的變差,過程參數(shù),環(huán)境變差,負(fù)載因子,使用者的條件,材料性能的退化等等.控制×噪聲交互效應(yīng)

19、是達(dá)到穩(wěn)健性的關(guān)鍵環(huán)節(jié),這種類型的2fi's應(yīng)當(dāng)與主效應(yīng)具有同等的重要性,因而在這里違反了效應(yīng)排序原則。裂區(qū)設(shè)計可以用于穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計中(Bingham和Sitter2003).在裂區(qū)設(shè)計中,我們可以選擇整區(qū)因子作為控制因子而子區(qū)因子作為噪聲因子；也可以選擇整區(qū)因子作為噪聲因子而子區(qū)因子作為控制因子.所以穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計也可以被看成二種區(qū)組設(shè)計。Taguchi(1987)將乘積表用于穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計.可是乘積表在試驗(yàn)中常常導(dǎo)致run的個數(shù)比較大,

20、并且有一部分自由度用來估計高階效應(yīng)。作為替代方案,我們選擇把控制因子和噪聲因子安排在同一個單一表中.在單-表中,所需的run的個數(shù)要小許多.這個方案已經(jīng)在許多文章中被討論過,比如,Borkowski和Lucas(1991),Box和Jones(1992),Lucas(1994),Montgomery(1991,2001),Myers(1991),Shoemaker et al.(1991),Welch et al.(1990),Welc