扭曲函數(shù)與保險定價.pdf

1、傳統(tǒng)的數(shù)學期望(即關于可加測度的數(shù)學期望)在風險定價和效用理論中起者重要的作用.然而，在很多市場中價格函數(shù)是非可加的，在保險市場和某些金融市場中，兩個風險之和的價格通常小于或等于兩個風險價格之和.可加測度在效用理論中也導致了如Allais悖論和Ellesberg悖論等困擾經(jīng)濟學多年的問題.Choquet(1953)提出了容度(非可加測度)的概念以后，Choquet積分作為對傳統(tǒng)數(shù)學期望的一種改進，被自然的引如到經(jīng)濟學中來.Choquet

2、積分作為一種非線性數(shù)學期望，由于具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，使得它特別適合于金融產(chǎn)品的定價，其理論得到了長足的發(fā)展.目前在保險定價(wang等(1996,1997))和金融資產(chǎn)定價(如期權定價)(Chateauneuf等(1996))中，非線性數(shù)學期望均得到了廣泛的應用. Wang等(1997)提出了保險市場上保費函數(shù)的公理化體系，本文主要在Wang等(1997)及Young(1998)等人結(jié)果的基礎上對保費原則及扭曲函數(shù)g進行了研究.

3、全文共分五部分： 第一部分是引言，指出問題的背景. 第二部分介紹預備知識，主要給出本文中用到的幾個概念，包括容度、生存函數(shù)、扭曲函數(shù)與扭曲概率、Choquet積分等.同時給出了在保險定價中有重要應用的共單調(diào)與相關序的一些結(jié)果. 定理2.7設保費原則H保持停止損失序，如果(X1，Y1)，(X2，Y2)∈R(Fx，F(xiàn)Y)，且滿足(X1，Y1)()c(X2，Y2)，則H[X1+Y1]≤H[X2+Y2]. 推論2

4、.9如果保費原則H保持停止損失序且對共單調(diào)風險可加，則H[+Y]≤H[X]+H[Y]對所有風險X和Y成立. 第三、四、五部分是本文的重點內(nèi)容，也是本人的主要結(jié)果. 第三部分.風險保費的Choquet積分表示，首先給出保費函數(shù)應滿足的幾條性質(zhì)：條件狀態(tài)獨立性、單調(diào)性、共單調(diào)可加性、連續(xù)性、規(guī)范性. 接著給出扭曲函數(shù)g的存在唯一性定理. 定理3.1設對任意X∈χ，實數(shù)a，a1，a2，a1≤a2，滿足aX∈χ，

5、min(X，a2)-min(X，a1)∈χ，且對任意X∈χ及a∈R+，I{X＞a}∈χ，保費原則H：χ→[0，+∞]滿足(P1)-(P5)，則存在唯一扭曲函數(shù)g，滿足g(0)=0，g(1)=1使得對任意X∈χ，有H[X]=∫0+∞g[Sx(t)]dt.推論3.3如果定理3.1條件滿足且X=I(z＞t)Y與I{z＞t}H[Y]保費價格相等，其中I{z＞t}與Y獨立，則H[·]可表示為H[X]=∫0+∞[Sx(x)rdx，r＞0最后給出了H

6、[·]為粘性風險測度的充要條件：g為凹扭曲函數(shù). 第四部分介紹條件容度下的保費原則. 首先介紹條件容度V|B、νC|B的概念和性質(zhì)以及相應的Choquet積分的性質(zhì)：定理4.1如果C，B∈F,νC|B也定義在F上，則(1)νC|B(A)=1，對所有滿足A()B∩Cc，A∈F. (2)νC|B(A)是單調(diào)的. (3)如果μ是F上的另一個容度，則ν≤μ，ν(C)=μ(C)，ν(Ω)=μ(Ω)=1(→)νC|B

7、≤μC|B.(4)如果ν是凹的的，則νC|B也是凹的. 定理4.2風險X的修正價格∫XdνC|B具有下列性質(zhì)：(1)如果ν=goP,g為凹扭曲函數(shù)，P為概率測度，則∫XdPC|B≤∫XdνC|B.(2)ess.inf{X(ω)：ω∈B}≤∫XdνC|B≤ess.sup{X(ω)：ω∈B}.(3)規(guī)模和平移不變性： ／[aX+b]dνC|B=a／XdνC|B+b，a≥0，b∈R (4)共單調(diào)可加性：設X和Y是共單調(diào)

8、風險，則∫[X+Y]dνC|B=∫XdνC|B+∫YdνC|B. (5)次可加性：設ν是凹容度，則對風險X和Y，∫[X+Y]dνC|B≤∫XdνC|B+∫YdνC|B.最后給出ν|B對應的扭曲函數(shù)gB的性質(zhì)： 定理4.3設g(u)：[0，1]→[0，1]為連續(xù)、二階可微、增、凹扭曲函數(shù)，g(0)=1，g(1)=1，則條件扭曲函數(shù)gB(t)：[0，1]→[0，1]滿足(1)gB(t)是增、凹函數(shù)，且gB(0)=0，gB(1