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文檔簡介
1、分形理論作為非線性科學(xué)中的一支新軍,其研究對象不但包括不光滑、不可微的幾何形狀,而且涉及非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生的相關(guān)性,主要研究方法足通過分析其維數(shù)、多重分形譜、相關(guān)指數(shù)等特征參數(shù)進(jìn)行特征考察.本文對上述分形特征參數(shù)展開研究,包括具有正Lebesgue測度自相似集的性質(zhì)、信號變換對多重分形譜的影響、除趨勢波動分析方法的基本特征、數(shù)據(jù)的噪聲處理等。
本文組織結(jié)構(gòu)如下:
第一章簡要介紹多重分形譜理論與除趨勢波動分析(DFA)方
2、法的產(chǎn)生背景與研究現(xiàn)狀以及這兩種理論之間的關(guān)系,并且給出本文的主要結(jié)果。
第二章討論R1上具有正Lebesgue測度的自相似集是否包含一個區(qū)間的問題,證明了下面兩種情況時,集E包含一個區(qū)間當(dāng)且儀當(dāng)E具有正Lebesgue測度:(1)E(f1,f2)是R1上自相似集,且fi(x)=cix+ei,ci∈(0,1),ei∈R1,i=1,2;(2)E=E(c,Ψ)是R1上關(guān)于fi(x)=cx+cei,c∈(0,1),ei∈Ψ,i=1,
3、2,…,m的自相似集,假定Ψc,∞是一致離散的,但Ψc,∞上不同的擴(kuò)張允許相等。
第三章研究的是多重分形譜的性質(zhì).對于多重分形級聯(lián)模型產(chǎn)生時間序列,給出了多項式變換后的Holder指數(shù)極大值和極小值,研究了多項式變換和對數(shù)變換對多重分形譜的影響,并嚴(yán)格證明了線性變換不改變?nèi)我夥中螖?shù)據(jù)的多重分形譜.此外,本章研究了多項式趨勢、周期性趨勢以及指數(shù)趨勢對多重分形譜的影響。
第四章足對除趨勢波動函數(shù)分析方法(DFA)的算法進(jìn)
4、行研究.本章引入了局部波動函數(shù)的概念,證明了數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化不影響DFA指數(shù)的計算結(jié)果,分析了數(shù)據(jù)測量精度對DFA指數(shù)的影響.此外,提出了時間延遲DFA方法,并證明了平穩(wěn)過程時間序列的DFA波動函數(shù)與時間延遲DFA波動函數(shù)依概率相等。
第五章的研究對象是除趨勢交叉波動方法(DCCA).DCCA方法作為DFA方法的推廣,可以測量多組數(shù)據(jù)的交叉相關(guān)性.通過假設(shè){xi}與{yi}為高斯噪聲過程,{xi}ni=1與{yi}ni=1為該過程的
5、時間序列,結(jié)果發(fā)現(xiàn)αxy≤α=max(αx,αy),其中,αx,αy分別為{xi}ni=1與{yi}ni=1的相關(guān)指數(shù),αxy是{xi}ni=1yu{yi}ni=1的交叉波動相關(guān)指數(shù)。
第六章提出了基于混沌理論和奇異值分解技術(shù)的數(shù)據(jù)去噪方法.通過將混沌理論中相空間重構(gòu)原理引入奇異值分解技術(shù)中,實現(xiàn)分形數(shù)據(jù)的噪聲消除,本文稱之為混沌奇異值方法(CSVD).將CSVD方法進(jìn)行實證分析表明,它不僅能夠恢復(fù)原始數(shù)據(jù)DFA指數(shù),而且也能
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