Gorenstein投射模范疇與單態(tài)射范疇.pdf

1、Gorenstein同調代數(shù)起源于20世紀60年代，是非常成功的一種相對同調代數(shù)理論，在表示論、Tate上同調、奇點理論等分支中有廣泛應用。Gorenstein同調代數(shù)的基本思想是用Gorenstein投射模、Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模分別代替投射模、內射模和平坦模。Artin代數(shù)上的Gorenstein同調代數(shù)的基礎是Gorenstein投射模（Gorenstein內射模可利用Nakayama函子得到)。為

2、更好地理解和發(fā)展Gorenstein同調代數(shù)，需要更詳細和更具體地研究非平凡Gorenstein投射模的結構和Gorenstein投射模范疇，在這方面已有李志偉和章璞給出的突破性結果，有待進一步發(fā)展。另一方面，由子模范疇發(fā)展而來的單態(tài)射范疇與Gorenstein投射模范疇以及奇點范疇等方向有密切聯(lián)系，它能給一大類代數(shù)上的Gorenstein投射模提供很好的研究框架。因此，從單態(tài)射范疇出發(fā)研究Gorenstein投射模范疇是一個可行且重要

3、的方向。
　　本文得到的主要結果如下：
　　一.三角矩陣Artin代數(shù)的Gorenstein投射模的構造。
　　(1)對很大一類三角矩陣代數(shù)，詳細刻畫了正則模的左Ext-正交范疇中的模。
　　(2)對非常大一類三角矩陣Gorenstein代數(shù)，刻畫了Gorenstein投射模的結構。
　　(3)利用三角矩陣擴張，歸納構造出了一類CM-有限 Artin代數(shù)。
　　二.將子模范疇的Auslander-Re

4、iten理論推廣到單態(tài)射范疇，并應用到自入射代數(shù)的T-擴張的G orenstein投射模范疇上。
　　(1)利用給定代數(shù)的Auslander-Reiten變換給出了單態(tài)射范疇的Auslander-Reiten變換的可計算性公式。
　　(2)對于自入射代數(shù)的單態(tài)射范疇，亦即自入射代數(shù)的Tn-擴張的Gorenstein投射模范疇，給出了Auslander-Reiten變換在對象上累次作用的表達式，并對Nakayama自入射代數(shù)，

5、給出了Auslander-Reiten變換在對象上的周期公式。
　　(3)對自入射代數(shù)的穩(wěn)定單態(tài)射范疇，給出了Serre函子在對象上累次作用的表達式，并對Nakayama自入射代數(shù)，給出了Serre函子在對象上的周期公式。
　　(4)給出了一些有限表示型的單態(tài)射范疇的Auslander-Reiten箭圖。
　　三.引入Gorenstein穩(wěn)定等價。
　　(1)證明了Gorenstein穩(wěn)定模范疇是穩(wěn)定模范疇相對于

6、G orenstein投射模穩(wěn)定范疇的商范疇。
　　(2)對于有限維代數(shù)，證明了Morita型穩(wěn)定等價和幾乎v-穩(wěn)定導出等價均誘導Gorenstein穩(wěn)定等價。
　　(3)給出一些例子說明穩(wěn)定等價、Gorenstein穩(wěn)定等價、Gorenstein投射模穩(wěn)定范疇的等價等各類等價之間的區(qū)別。
　　四.對于根平方為零的連通左Artin環(huán)，詳細刻畫了正則模的左Ext-正交范疇，并給出了其上廣義Nakayama猜想的有效上界。