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文檔簡介
1、本文主要是為Galerkin的無網格方法設計高效的數值積分策略。我們考慮了三類二階線性橢圓偏微分方程模型:pure Neumann邊值問題、本質邊界條件的問題、一般的非常系數的橢圓方程。我們分別為每一個模型發(fā)展無網格方法、設計適當的數值積分公式,并分析了由數值積分格式獲得的近似解對真解的逼近誤差。 無網格方法起源于上個世紀七十年代,從九十年代初期開始了大量的研究。該方法的動機是為了舒緩通常的網格方法(例如有限元)用于求解一些復雜
2、的工程問題(如裂紋傳播問題、大變形問題等)時劃分空間網格的沉重負擔。從這類方法誕生的初期,人們便意識到了(剛性矩陣、質量矩陣、承載向量的元素的)數值積分嚴重地阻礙Galerkin無網格方法的有效運用。不充分的數值積分甚至可以導致方法的失敗。盡管工程界進行了很多的努力來處理這個問題,然而對于它的精確的理解仍然是很缺乏的,工程師們經常用“過度的積分”,計算代價相當昂貴。同時,鮮有系統(tǒng)的理論(數學)分析來研究這個問題。因此,數學上考察數值積分
3、對無網格方法的影響并在此基礎上設計可靠的積分公式是這類方法成功的關鍵。 在這篇論文中,我們提出了無網格方法中的數值積分需要滿足的三個條件,其中之一是由Green公式得到的啟示,它將在本文的所有分析中發(fā)揮中心的作用。這個條件指出,當Green公式的兩端的積分項被數值地計算時,等式依然可以對一些特定的光滑函數類成立。我們同樣給出了滿足這個條件的算法,我們稱之為積分校正原則。我們提及一些標準的積分公式并不滿足這個條件,例如高斯積分。
4、 對于文中考慮的每個模型問題,我們都從數學上分析了帶有數值積分格式的無網格方法的逼近性。這些分析是建立在所謂的Strang引理的基礎上的,該引理允許我們將誤差劃分為兩部分——逼近誤差和數值積分導致的“擾動”誤差,其中擾動誤差可以被文中的積分算法控制,即誤差不會放大。而且依據離散化參數h適當地選擇數值積分公式,我們可以獲得計算的近似解的最佳逼近階。這個現象是完全不同于標準的有限元方法的。在有限元方法中,為了得到最佳的逼近階,數值積分
5、公式不必依賴于h。這是消除網格所付出的代價。 需要強調的是,對于上面提到每種模型問題我們都需要為其考慮適當的變分形式,從而對應了不同的Galerkin無網格方法。例如,(a)在pure Neumann的情形,我們用基于Lagrange乘子的變分公式;(b)對于帶有本質邊界條件的問題,我們用一個擾動的變分問題,即所謂的非對稱的Nitsche's方法;(c)通常的變分公式被用于一般的、帶有非常系數的橢圓方程。結果的每種無網格方法在精
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