無網(wǎng)格局部邊界積分方程方法研究：算法與應(yīng)用.pdf

1、傳統(tǒng)的數(shù)值方法,如有限元法、有限差分法和邊界元等,在科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域都得到廣泛的研究和應(yīng)用,特別是以有限元法為基礎(chǔ),發(fā)展出了大量通用實用的商業(yè)程序,形成了計算機輔助工程設(shè)計的產(chǎn)業(yè)。然而,有限元在一些特殊問題的求解中,如大變形、動邊界等,還具有一定的局限和困難,這是由于有限元近似函數(shù)基于有限元網(wǎng)格所造成的。無網(wǎng)格方法的近似函數(shù)擺脫了網(wǎng)格依賴性,因此一經(jīng)出現(xiàn),就得到了計算力學(xué)領(lǐng)域的高度重視和廣泛研究,短短十余年時間,發(fā)展出的各類無網(wǎng)格

2、方案超過三十種,并在高速沖擊、超大變形、裂紋擴展等問題都取得了成功。但是就整體而言,各類無網(wǎng)格方法無論是理論基礎(chǔ)研究還是應(yīng)用研究,深度和廣度都有待進一步提高。從這一現(xiàn)狀出發(fā),本文結(jié)合無網(wǎng)格局部邊界積分方程方法的特點,進行了理論和應(yīng)用上的研究。
　　本文開展的工作主要圍繞局部邊界積分方程方法算法的進一步研究和完善,主要包括算法基本內(nèi)容、奇異性處理和自適應(yīng)分析等;以及應(yīng)用背景的研究和擴展,主要包括聲傳播問題和彈塑性問題,具體內(nèi)容如下:

3、
　　1、算法的研究和完善
　　無網(wǎng)格方法區(qū)別于有限元等網(wǎng)格型的數(shù)值方法,最根本的是節(jié)點物理量的近似函數(shù)不再基于網(wǎng)格而基于求解域內(nèi)離散的節(jié)點,但同時也造成了無網(wǎng)格法近似函數(shù)中的較多參數(shù)選擇問題等;這些參數(shù)選擇是包括局部邊界積分方程方法在內(nèi)的無網(wǎng)格算法的最基本內(nèi)容。本文對包括這些參數(shù)在內(nèi)的算法基本方面進行了較為詳細(xì)的討論,包括緊支權(quán)函數(shù)、局部子域半徑、影響域半徑、伴隨解、正交基函數(shù)、邊界參數(shù)化處理等方面,采用Delaunay三

4、角分解搜尋源節(jié)點的鄰節(jié)點,然后進一步根據(jù)節(jié)點的幾何分布自適應(yīng)地確定局部子域半徑和影響域半徑。
　　局部邊界積分方程方法通過采用邊界元法中的基本解,將局部子域上的面積分和體積分轉(zhuǎn)化成線積分和面積分,求解區(qū)域降一維,但基本解的引入同時也造成了對邊界節(jié)點的局部子域邊界上的奇異積分問題。本文對正則化方法處理奇異積分問題做了進一步研究,將其擴展到處理Helmholtz問題的局部邊界積分方程中的強奇異積分;通過典型算例的數(shù)值評估,正則化方法可

5、以有效的處理Laplace方程和helmholtZ方程的局部邊界積分方程方法中的奇異積分問題。此外,對求解域內(nèi)節(jié)點采用局部邊界積分方程,而對邊界節(jié)點直接采用移動最小二乘近似函數(shù)引入邊界條件,進一步提出了改進的無奇異局部邊界積分方程方法。該方法避免了奇異積分問題,同時也解決了對積分邊界進行插值引入近似誤差的問題;數(shù)值實驗展示出該方法的簡單性和高效性。
　　局部邊界積分方程方法是一種“純”無網(wǎng)格方法,積分只需要在局部子域及其邊界上進行

6、,因此在自適應(yīng)分析方面非常具有前景。結(jié)合移動最小二乘近似和Taylor級數(shù)展開的后處理技術(shù),對雙誤差指示做了進一步的研究,提出采用節(jié)點位勢導(dǎo)數(shù)進行雙誤差指示的定義。充分利用后處理技術(shù)得到更為精確的位勢導(dǎo)數(shù)作為參考解對真實誤差進行估計,提出基于局部邊界積分方程方法的后驗誤差估計方案,數(shù)值算例表明,估計誤差能夠有效指示出真實誤差的大小和分布。
　　2、應(yīng)用背景問題的研究和擴展
　　有限元數(shù)值求解Helmholtz方程控制聲場傳播

7、問題,由于要求每個波長內(nèi)必須有足夠的單元數(shù)來保證近似精度,因此在波數(shù)增加的時候,計算規(guī)模也迅速增加,同時增加的彌散誤差也會在一定程度上“污染”計算精度。
　　本文將局部邊界積分方程方法擴展到Helmholtz方程控制下的聲傳播問題,充分利用移動最小二乘近似函數(shù)容易引入頻率依賴的波解函數(shù)作為基函數(shù)的優(yōu)勢,在不需要太多節(jié)點的情況下可以極大地提高近似精度,降低彌散誤差,這在高波數(shù)情況的求解中非常具有發(fā)展前景。對局部邊界積分方程方法在二維