B樣條邊界面法及邊界積分方程中的等幾何方法研究.pdf

1、B樣條函數(shù)最初源自數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)Ρ平摰难芯浚己玫臄?shù)學(xué)性質(zhì)及其強(qiáng)大的自由曲線曲面造型功能在CAD中得到了廣泛應(yīng)用并發(fā)揮著極其重要作用。之后提出的以有理分式表達(dá)的B樣條，稱作非均勻有理B樣條(NURBS)，克服了B樣條不能精確表達(dá)規(guī)則二次曲面的缺陷，因而使其成為國際標(biāo)準(zhǔn)化組織定義產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。實(shí)質(zhì)上，B樣條或是NURBS靈活豐富造型功能是由其很多優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)所決定的，而這些性質(zhì)，如：單位分解性，變差減小性和強(qiáng)凸包性等等，也是決

2、定數(shù)值逼近算法近似精度和穩(wěn)定性的重要因素。這里我們將其作為近似方法與邊界積分方程相結(jié)合，在邊界面法的框架下，提出采用B樣條近似邊界場量的B樣條邊界面法。更深入的，我們還利用B樣條和NURBS進(jìn)行幾何建模與邊界場量近似，發(fā)展了基于邊界邊界積分方程的等幾何方法。
　　在邊界積分方程中利用雙變量B樣條函數(shù)進(jìn)行邊界場量近似時，由于樣條函數(shù)張量積的限制，在一些有奇異點(diǎn)(正則參數(shù)平面的邊線映射到笛卡爾空間中的參數(shù)曲面時退化所成的點(diǎn))的參數(shù)曲面

3、，造成集中在奇異點(diǎn)處大量奇異和近奇異積分需要處理，這不但增加計算這些積分的開支，而且惡化了數(shù)值結(jié)果的精度，因而是很不可取的。為解決此問題，文中將提出一種局部形式的B樣條(稱作局部B樣條)，并給出雙變量局部B樣條和NURBS函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。采用局部B樣條近似邊界場量，可以有效的避免參數(shù)曲面奇異點(diǎn)處大量奇異和近奇異積分計算，因而相比全局B樣條近似在計算效率和精度上都會得到大大提高，文中將通過對三維勢問題和靜彈性問題的求解來驗(yàn)證這一點(diǎn)。為

4、了更好顯示B樣條作為近似方法的優(yōu)越性，文中還將在同一邊界面框架中選取插值精度高的MLS函數(shù)進(jìn)行邊界場量近似來做比較，最終數(shù)值結(jié)果顯示B樣條近似比MLS近似具有更高的求解精度和更快的收斂速度。
　　為了實(shí)現(xiàn)CAD與CAE真正意義上的無縫連接(即采用真實(shí)CAD模型的幾何信息進(jìn)行分析以及自適應(yīng)分析時CAE分析與CAD模型的交互僅需一次)，文中將有限元領(lǐng)域提出的等幾何方法創(chuàng)新性的與邊界積分方程相結(jié)合，提出了基于邊界積分方程的B樣條等幾何方

5、法。由于該方法繼承了求解邊界積分方程的降維優(yōu)勢，在求解三維問題時，其幾何模型可以采用B-rep(邊界表征法)表征(即實(shí)體模型由B樣條或NURBS曲面所圍成)，而且CAE分析時對邊界場量進(jìn)行近似也只需采用雙變量B樣條，相比有限元中的幾何建模和場量近似都需三變量B樣條函數(shù)，實(shí)現(xiàn)起來更加簡單，網(wǎng)格劃分更加容易。我們對此編寫了相應(yīng)程序用于對三維勢問題和靜彈性問題的求解，數(shù)值結(jié)果將驗(yàn)證算法的精度和穩(wěn)定性。值得說明的是，我們還將雙變量局部B樣條函數(shù)

6、用于等幾何方法框架中對邊界場量進(jìn)行近似，數(shù)值結(jié)果顯示局部B樣條較傳統(tǒng)的全局B樣條具有更高的精度和計算效率。
　　為了在邊界面法和等幾何方法框架下求解更加復(fù)雜工程問題，這里選擇了在工程中廣泛使用的焊接結(jié)構(gòu)。要實(shí)現(xiàn)對真實(shí)焊接結(jié)構(gòu)的CAE分析，必須建立起十分接近真實(shí)焊接結(jié)構(gòu)的焊縫模型，而模擬真實(shí)焊縫建模模塊在CAD軟件都不具有。出于上述考慮，作者基于UG二次開發(fā)平臺利用C++語言開發(fā)了一套B樣條模擬真實(shí)焊縫的建模模塊。該模塊在UG中以菜