常微分方程定性理論中的中心焦點(diǎn)及相關(guān)問題.pdf

1、本篇博士論文旨在研究中心焦點(diǎn)問題及相關(guān)問題.多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)問題，即Hilbert第十六問題的后半部分，是常微分方程定性理論研究中最困難的核心問題.微分動力系統(tǒng)在原點(diǎn)附近極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究，主要難點(diǎn)歸結(jié)為中心焦點(diǎn)問題.這一問題和多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究有著密切的關(guān)系. 在中心焦點(diǎn)判定方面：對于普遍形式的解析系統(tǒng)，論文利用后繼函數(shù)法給出焦點(diǎn)量遞推公式；同時(shí)改進(jìn)了形式級數(shù)法，以計(jì)算和約化焦點(diǎn)量或鞍點(diǎn)量.論文還基于吳文俊特征列

2、法，提出了中心條件推導(dǎo)的間接性方法，為發(fā)現(xiàn)新的中心條件提供了有效的手段.作為算例，推導(dǎo)了三次系統(tǒng)和五次系統(tǒng)時(shí)間可逆的充要條件，還推導(dǎo)了一類三次系統(tǒng)解析可逆的系數(shù)條件.對于一類Z2等變退化三次系統(tǒng)，給出雙中心共存的充要條件，并且從兩個(gè)對稱五階細(xì)焦點(diǎn)附近構(gòu)造出10個(gè)小振幅極限環(huán). 當(dāng)中心鄰域閉軌的周期函數(shù)為常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)具有等時(shí)中心.等時(shí)中心不但與極限環(huán)分支有著密切的聯(lián)系，而且在日常生活和技術(shù)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用.為此，論文研究了兩類可

3、逆三次系統(tǒng)等時(shí)中心條件；給出了一類時(shí)間可逆四次系統(tǒng)的等時(shí)中心充要條件；研究了時(shí)間可逆系統(tǒng)的等時(shí)中心充要條件，并且給出了一個(gè)等時(shí)中心或細(xì)焦點(diǎn)的充分條件. 論文還運(yùn)用定性分析方法、代數(shù)方程判別系統(tǒng)理論和結(jié)式方法，研究了一類具有星狀結(jié)點(diǎn)的四次系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)分類. 一直以來，高階退化分支是弱化Hilbert第十六問題研究中的薄弱環(huán)節(jié)，而Melnikov函數(shù)決定同宿環(huán)或異宿環(huán)經(jīng)小擾動破裂后分界線的相互位置，是處理弱化Hilb

4、ert第十六問題有效手段.為了研究Hamilton系統(tǒng)的高階退化擾動，有必要計(jì)算高階Melnikov函數(shù). 為此，論文最后討論了Bogdanov-Taken系統(tǒng)的一類三次擾動dx/dt=y+∈f1(x，y)，dy/dt=-x+x2十∈f2(x，y)，這里f1(x，y)=a0x+a1y+b0x2+b1xy+b2y2，f2(x，y)=c0x+c1y+d0x2+d1xy+d2y2+e0x3+e1x2y+e2xy2+e3y3，∈為小參數(shù)