隨機(jī)偏微分方程和信用風(fēng)險(xiǎn)的若干問題研究.pdf

1、論兩個(gè)問題，前三章討論隨機(jī)偏微分方程(簡(jiǎn)稱SPDE)，后兩章研究信用風(fēng)險(xiǎn)模型，其中又以信用違約互換（簡(jiǎn)稱CDS）為主要研究對(duì)象。
　　 第一章的主要研究對(duì)象是隨機(jī)波動(dòng)方程。在1.1節(jié)中，我們給出了一些充分條件使得這類被Q-維納過程擾動(dòng)的強(qiáng)衰減性波動(dòng)方程的局部解以正概率或者在L2意義下爆炸。其中，能量不等式(Lyapunov泛函)在證明全局解存在時(shí)起了關(guān)鍵作用。由于SPDE的弱解不能直接使用It(o)公式，但是這一困難可以通過構(gòu)造

2、無窮維隨機(jī)微分方程的一列強(qiáng)解去逼近該方程的弱解而得到解決。在本文中，我們通過這樣的構(gòu)造得到一個(gè)局部解，并且證明它在有限時(shí)間內(nèi)以正概率或者是在L2意義下爆炸。
　　 在空間維數(shù)為2的情況下，算子的格林核雖然仍是一個(gè)函數(shù)，但是卻不再是L2可積。因此，如果該方程仍用空時(shí)白噪聲去擾動(dòng)，那么在Walsh的理論體系下不能定義該方程的解。因此，我們考慮一種更廣義的跟空間相關(guān)的噪聲去驅(qū)動(dòng)二維波動(dòng)方程。同時(shí)，為了刻畫過程的自相似性和長(zhǎng)時(shí)間相依性，

3、在1.2節(jié)中，我們考慮時(shí)間上是分式的而且具有非退化的空間協(xié)變差的噪聲，證明了在該類噪聲驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)波動(dòng)方程具有過程值的解，并且得到了此解的H(o)1der連續(xù)性及相應(yīng)階數(shù)。
　　 在第二章中，我們討論幾類高階SPDE。在2.1節(jié)中，我們首先研究了一類四階方程，這個(gè)方程可以看成是二階隨機(jī)Anderson模型的高階形式。當(dāng)方程的空間維數(shù)d<3時(shí)，用Walsh的鞅方法即可定義該四階方程的過程值解，但是在空間維數(shù)d=4．5時(shí)，為了得到方

4、程的過程值解，需要對(duì)驅(qū)動(dòng)該方程的隨機(jī)噪聲進(jìn)行空間修正。我們得到了在空間維數(shù)小于等于5時(shí)該方程在L2(Q)空間中的Lyapunov估計(jì)，并進(jìn)一步得到了解的有限混沌展開的收斂率。
　　 另外一個(gè)典型的高階方程是隨機(jī)Cahn-Hilliard方程，該方程描述了一些重要的兩相位系統(tǒng)的定性特征，例如當(dāng)研究材料快速冷卻時(shí)顯示的一種快速分離的相位系統(tǒng)。近年來，這個(gè)方程在材料科學(xué)的研究中變得越來越重要。然而，在實(shí)際研究中相位系統(tǒng)的進(jìn)化往往是不確

5、定性的。因此用隨機(jī)噪聲擾動(dòng)的Cahn-Hilliard方程更能確切描述相位系統(tǒng)的進(jìn)化過程。在2.2節(jié)中，我們考慮帶有小擾動(dòng)的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程，并且證明了該方程解的概率分布的大偏差原理。在證明過程中，采用Azcncott的方法，由Freidlin-Wentzell不等式得到該分布上下界估計(jì)，從而證明我們的結(jié)果。
　　 在第三章中，我們研究分式噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)熱方程的非參數(shù)估計(jì)。當(dāng)擾動(dòng)噪聲的協(xié)變差矩陣有某些特定形式時(shí)

6、，該偏微分方程可以轉(zhuǎn)化為一列由分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程。由此通過分式布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，得到所考慮參數(shù)的估計(jì)。
　　 文本的后兩章主要研究金融數(shù)學(xué)中的信用風(fēng)險(xiǎn)。隨著信用衍生品市場(chǎng)的迅速發(fā)展，越來越多的公司需要通過市場(chǎng)上的衍生產(chǎn)品交易來管理和轉(zhuǎn)移面臨的各方面信用風(fēng)險(xiǎn)。雖然市場(chǎng)上存在著多種信用衍生產(chǎn)品，但信用違約互換也許是最重要，同時(shí)也是交易量最多的一種。對(duì)于一個(gè)投資者來說，怎么樣的一個(gè)投資組合能帶來最大的收益無疑是很重要的。第四

7、章，在簡(jiǎn)約模型下，我們考慮一個(gè)投資者在投資一個(gè)包含信用違約互換合同和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)債券的組合時(shí)，如何分配投資資金使得收益最大化。通過計(jì)算，得到了對(duì)應(yīng)的HJB方程，并給出了數(shù)值運(yùn)算結(jié)果。最后的分析得出，信用違約互換是一個(gè)很好的信用風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移工具，但不是一個(gè)很好的專門用來投資的產(chǎn)品。
　　 在最后一章中，我們研究了信用違約互換合同中存在的對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)。在考慮信用違約互換定價(jià)問題時(shí)，對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)常被忽略。但是隨著金融危機(jī)的到來，很多大投資銀行紛紛