單參數(shù)非線性問題高階奇異點(diǎn)的計(jì)算及一類反應(yīng)擴(kuò)散方程組的分歧分析.pdf

1、非線性分歧問題最早起源于桿件在縱向壓力作用下的屈曲和失穩(wěn)問題。早在十八世紀(jì)，Euler和Bernoulli就研究過，故稱為Euler-Bernoulli問題。此問題是少數(shù)能寫出分歧解的解析表達(dá)式的非線性分歧問題之一。近幾十年來，隨著更加精確地描述和解決實(shí)際問題的需要，隨著數(shù)學(xué)研究本身的進(jìn)展以及大型計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和完善，各種非線性問題日益引起科學(xué)家和工程技術(shù)人員的重視和興趣。分歧理論是非線性問題研究中的重要一環(huán)，近一、二十年來得到了突飛猛進(jìn)

2、的發(fā)展，可以說是成果斐然，方興未艾。擴(kuò)展方程方法是數(shù)值求解分歧問題的首選方法，這種方法的基本思想是通過引入新的方程來擴(kuò)展原來的非線性方程，從而消除分歧問題的奇異性。這種方法有幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)，使它成為分歧問題研究領(lǐng)域的一個(gè)重要的，甚至是不可缺少的方面軍。它的第一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是直接處理高維甚至無窮維問題。它的第二個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以將許多復(fù)雜的高階分歧問題化為簡(jiǎn)單的低階分歧問題。它的第三個(gè)優(yōu)點(diǎn)是其結(jié)果常常可以直接用于計(jì)算機(jī)上的數(shù)值計(jì)算，或?yàn)閿?shù)值計(jì)算提供重要而有

3、用的信息。我們的研究工作從兩個(gè)方面展開，一方面考慮單參數(shù)的非線性問題，提出一種普適的擴(kuò)展系統(tǒng)，給出了計(jì)算各類高階奇異點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)一算法。另一方面考慮發(fā)育生物學(xué)中一類反應(yīng)擴(kuò)散方程組，這類問題出現(xiàn)在胚胎發(fā)育中的圖案形成過程中。大致來說，文章由以下幾個(gè)部分組成。首先考慮單參數(shù)非線性問題，如果參數(shù)的個(gè)數(shù)足夠多，在延拓過程中通過求解各種正則的擴(kuò)展系統(tǒng)可以求出方程解枝上存在的各種高階奇異點(diǎn)，例如高階折疊點(diǎn)、橫截式分歧點(diǎn)、音叉式分歧點(diǎn)等。如果在方程中參

4、數(shù)不夠多，例如許多具體非線性問題中只有一個(gè)參數(shù)，上述正則擴(kuò)展系統(tǒng)方法就碰到了困難。另一個(gè)困難是高階奇異性在沒有計(jì)算以前是不清楚的，而不同的高階奇異點(diǎn)要用不同的正則擴(kuò)展系統(tǒng)來計(jì)算，所以選取何種正則擴(kuò)展系統(tǒng)就成了問題。為了克服正則擴(kuò)展系統(tǒng)方法的缺點(diǎn)，我們提出確定奇異性的普適擴(kuò)展系統(tǒng)，結(jié)合同倫參數(shù)的擬弧長延拓，給出了計(jì)算各類高階奇異點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)一算法。并且討論了原問題中的n階折疊點(diǎn)、n階音叉式分歧點(diǎn)和橫截式分歧點(diǎn)與普適擴(kuò)展系統(tǒng)中的高階奇異點(diǎn)的關(guān)