多元樣條、弱樣條及分片代數(shù)簇若干問題研究.pdf

1、本文研究了多元樣條、弱樣條及分片代數(shù)簇若干問題. 在第二章中，主要研究了一種星型貫穿剖分上的多元樣條整體協(xié)調(diào)方程組所對應(yīng)的素模的生成基的計算方法.1975年，王仁宏采用函數(shù)論和代數(shù)幾何的方法，提出了研究多元樣條的“光滑余因子協(xié)調(diào)法”，建立了任意剖分下多元樣條函數(shù)的基本理論框架.從這種觀點出發(fā)，多元樣條函數(shù)的任何問題可以通過整體協(xié)調(diào)條件轉(zhuǎn)化為一個與之等價的代數(shù)問題來研究，整體協(xié)調(diào)條件影響和最終決定了多元樣條函數(shù).整體協(xié)調(diào)條件可以看

2、作一個以各內(nèi)網(wǎng)線上光滑余因子為未知數(shù)的有著多項式系數(shù)的代數(shù)方程組，而這個代數(shù)方程組的所有解構(gòu)成了多項式環(huán)R[x，y]上的素模.所以整體協(xié)調(diào)條件的求解問題等價于一個多項式環(huán)上的素模求解問題.我們研究了星型貫穿剖分上的多元樣條整體協(xié)調(diào)方程組所對應(yīng)的素模的生成基的計算方法，所得結(jié)果可以應(yīng)用到求解各類貫穿剖分上的多元樣條函數(shù)空間的維數(shù)、基底和插值等問題. 在第三章中，研究了一種特殊的多元二次樣條函數(shù)空間S<'1,0><,2>(◇).在這

3、里剖分◇就是由一個正則四邊形剖分按照第四型Powell-Sabin細(xì)分格式加細(xì)而得到的一種剖分.對于任意的樣條s∈S<'1,0><,2>。(◇)，樣條s的分片次數(shù)是二次，且在剖分◇上的絕大部分網(wǎng)線上是一階連續(xù)的，而在其他剩余的少部分網(wǎng)線上是0階連續(xù)的.我們求出了這個多元二次樣條函數(shù)空間的維數(shù)，研究了基樣條函數(shù)的顯式表達(dá)式；同時構(gòu)造了兩個擬插值算子，討論了它們的逼近性質(zhì)，并提供了一些數(shù)值實驗結(jié)果來驗證這些逼近性質(zhì)；最后將此種多元樣條和其他

4、的多元樣條做了一些比較.這樣在一定程度上推廣了Powell-Sabin細(xì)分格式的應(yīng)用. 在第四章中，研究了多元弱樣條函數(shù)空間W<'μ><,k>(I<,1>△)(其中k≥2μ+1)和W<'1><,2>(I<'*><,1>△).多元弱樣條以前的結(jié)果主要集中在貫穿剖分以及某些三角剖分上.在本章中，根據(jù)研究多元弱樣條的“光滑余因子協(xié)調(diào)法”，采用逐步計算自由度的方法，避免了列出并求解巨大整體協(xié)調(diào)方程組的困難，解決了一般正則直線段剖分I<,

5、1>△上的多元弱樣條空間W<'μ><,k>(I<,1>△)(其中k≥2μ+1)和滿足某些條件的直線段剖分I<'*><,1>△上的W<'1><,2>(I<'*><,1>△)的維數(shù)，并給出了一個構(gòu)造基底的方法.首先根據(jù)一個適定的多元Hermit插值問題，求出了星型域st(v)上的弱樣條函數(shù)空間W<'μ><,k>(I<,1>st(v))(k≥2μ+1)的維數(shù)，構(gòu)造了它的基底；緊接著利用星型域st(v)上的維數(shù)結(jié)果求出了一般直線段剖分上的多元弱

6、樣條函數(shù)空間W<'μ><,k>(I<,1>△)(k≥2μ+1)的維數(shù)，并給出了一個構(gòu)造基底的方法.由于多元二次弱樣條的次數(shù)2和光滑度1很接近，只能求得滿足一定條件的直線段剖分I<'*><,1>△上的多元二次弱樣條函數(shù)空間W<'1><,2>(I<'*><,1>△)的維數(shù)． 在第五章中，討論了多元弱樣條函數(shù)空間和最小確定集之間的關(guān)系．利用研究多元弱樣條的“B網(wǎng)方法”，給出了任意三角剖分I<,1>△上的多元弱樣條函數(shù)空間W<'μ><,

7、k>(I<,1>△)(其中k≥2μ+1)和W<'1><,2>(I<,1>△)的最小確定集的構(gòu)造方法，根據(jù)多元弱樣條函數(shù)空間等于其最小確定集的基數(shù)的性質(zhì)，從而求出了它們的維數(shù)．討論了最小確定集構(gòu)造方法的理論基礎(chǔ)以及由最小確定集里面的點所對應(yīng)的對偶基的局部支集性質(zhì)． 在第六章中，研究了求兩條給定的分片代數(shù)曲線交點的Groebner基方法以及分片代數(shù)簇和理想的對應(yīng)關(guān)系．本章前半部分給出了求兩條給定的分片代數(shù)曲線交點的Groebner基