幾類無界域上耗散演化方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為研究.pdf

1、現(xiàn)實(shí)世界中很多物理現(xiàn)象可以由具有能量耗散的非線性發(fā)展方程描述.對(duì)這些發(fā)展方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為研究有助于我們理解非線性科學(xué)中的復(fù)雜現(xiàn)象.全局吸引子是無窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的核心概念.我們主要關(guān)心全局吸引子的存在性,正則性,分形維數(shù)估計(jì)等等.對(duì)于吸引子的高正則性,弱耗散系統(tǒng),非局部耗散等,這些問題將變得更加困難.本文主要致力于處理這幾類問題,具體安排如下.
　　第一章,我們對(duì)無窮維動(dòng)力系統(tǒng)的主要內(nèi)容作簡(jiǎn)要介紹,包括吸引子存在性的充分必要刻畫,

2、緊性描述以及相關(guān)論題.
　　第二章,考慮具有任意增長(zhǎng)階非線性的反應(yīng)擴(kuò)散方程,通過一系列解的估計(jì),得出單位算子在吸收集內(nèi)是2older連續(xù)的,結(jié)合解半群在中的漸近緊性,證明了全局吸引子的存在性.由于方程的平衡點(diǎn)至多屬于上述空間,因此該結(jié)果已經(jīng)達(dá)到最優(yōu).
　　第三章,研究了廣義KdV方程解的漸近行為.通過構(gòu)造三個(gè)守恒律能量方程,證明了吸收集的存在性.利用Ball的能量方法,證明了解半群在中的漸近緊性,從而得到全局吸引子的存在性.

3、我們還給出了一個(gè)平凡吸引子的充分條件.結(jié)果表明當(dāng)外力項(xiàng)相對(duì)阻尼系數(shù)小時(shí),吸引子是平凡的,即只包含一個(gè)平衡點(diǎn).
　　第四章,分析了QG方程解的漸近行為.首先,利用分?jǐn)?shù)拉普拉斯算子的正性不等式,交換子估計(jì)以及Besov空間技巧,證明了無界域上阻尼QG方程在中全局吸引子的存在性.
　　第五章,利用Chueshov-Lasiecka擬穩(wěn)定估計(jì)方法,得出2維環(huán)域上全局吸引子的分形維數(shù)依賴耗散系數(shù)的精確估計(jì).維數(shù)上界隨著耗散系數(shù)增大而減