關(guān)于均衡約束數(shù)學(xué)規(guī)劃理論和算法的若干研究.pdf

1、均衡約束數(shù)學(xué)規(guī)劃問題(Mathematical programs with equilibrium constraints，簡稱MPEC)是約束中含有參數(shù)變分不等式或者參數(shù)互補(bǔ)問題的約束規(guī)劃問題.MPEC的一個重要來源是雙層規(guī)劃問題(Bilevel programming problem，簡稱BLPP).該問題在經(jīng)濟(jì)均衡、博弈論、工程設(shè)計、交通科學(xué)和頂層設(shè)計等領(lǐng)域有著重要的實際應(yīng)用背景.但是，因為MPEC的約束在任何可行點處都不滿足M-

2、F約束規(guī)范(Mangasarian-Fromovitzconstraint qualification)（實際上它的約束不滿足大部分約束規(guī)范），所以這類問題不管在理論分析還是在算法設(shè)計上都是非常難處理的.
　　在過去的二十多年里，學(xué)者們對MPEC的理論和算法都做了深入的研究.但是仍然存在很多值得研究的地方.在本文，我們將進(jìn)一步在理論和算法方面深入研究MPEC問題.特別地，我們得到如下的結(jié)果:
　　(1)盡管MPEC的一階最優(yōu)

3、性條件和約束規(guī)范理論已經(jīng)比較完善，但是文獻(xiàn)中一直沒有關(guān)于MPEC的各種穩(wěn)定性的最弱約束規(guī)范的任何研究結(jié)果.為此在第2章，我們首先深入研究了保證各種穩(wěn)定性的最弱的約束規(guī)范.然后，考慮到最近有文獻(xiàn)提出一種很弱的保證穩(wěn)定點孤立性的條件，但沒有說明該條件是否為約束規(guī)范，作為其補(bǔ)充，我們利用最弱約束規(guī)范條件證明了上述條件不僅是一個新的約束規(guī)范，并且還蘊(yùn)含局部誤差界條件.
　　(2)在第3章，我們系統(tǒng)地研究了MPEC的二階最優(yōu)性條件.我們首先

4、利用奇異或者非奇異的S-乘子研究了MPEC的二階充分性條件.然后，我們給出了一些更弱的MPEC約束規(guī)范，并在這些約束規(guī)范條件下，得到了多種MPEC的二階必要最優(yōu)性條件.最后，我們在非常弱的條件下討論了MPEC的局部最優(yōu)解和穩(wěn)定點的孤立性.
　　(3)在第4章，我們研究了一類比參數(shù)MPEC更廣泛的幾何約束參數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題(MPGC)的穩(wěn)定性.我們證明了，在某種約束規(guī)范和二階充分性條件或者二階增長性條件下，局部最優(yōu)解映射和穩(wěn)定點映射關(guān)

5、于擾動參數(shù)都是非空連續(xù)的，且在合適的條件下，穩(wěn)定對映射是平穩(wěn)的.然后我們把這些結(jié)果應(yīng)用到文獻(xiàn)中已存在的幾類問題上.尤其，對MPEC問題，我們證明了在M-乘子二階充分性條件下，M-穩(wěn)定對映射是平穩(wěn)的;在S-乘子二階充分性條件和雙退化指標(biāo)集為空集的條件下，S-穩(wěn)定對映射是平穩(wěn)的.
　　(4)第5章旨在研究參數(shù)MPEC問題的靈敏度.我們在擾動的MPEC-RCR正則性和MPEC-NNAMCQ(均弱于MPEC-LICQ)條件下，得到了參數(shù)M

6、PEC的價值函數(shù)的一階方向?qū)?shù)的表達(dá)式.而且，我們把新的結(jié)果應(yīng)用到局部的參數(shù)MPEC問題，把文獻(xiàn)中所需要的所有分片問題都滿足強(qiáng)二階充分性條件減弱到S-乘子精煉二階充分性條件.在本章的最后，我們用加強(qiáng)的M-/C-穩(wěn)定性乘子研究了價值函數(shù)的極限次微分和地平次微分的上估計.
　　(5)第6章旨在開發(fā)求解MPEC的有效算法.由于MPEC的約束不滿足標(biāo)準(zhǔn)的約束規(guī)范，在文獻(xiàn)中存在幾種流行的穩(wěn)定性條件:C-/M-/S-穩(wěn)定性.我們首先把這些穩(wěn)定

7、性系統(tǒng)再定式為帶有簡單約束的光滑方程組，然后提出了一種改進(jìn)的Levenberg-Marquardt方法來求解這些約束方程組并且把該方法全局化.我們證明了，在弱局部誤差界條件下，該方法是全局收斂的且是局部超線性收斂的.最后我們討論了一些使弱局部誤差界成立的充分性條件且通過大量的數(shù)值試驗說明了這些條件是容易滿足的.
　　(6)第7章旨在求解一類具有特殊結(jié)構(gòu)的EPEC問題的正規(guī)C-/M-/S-Nash穩(wěn)定點.我們證明了.在目標(biāo)函數(shù)滿足某