多復(fù)變數(shù)全純函數(shù)空間及其算子.pdf

1、本論文主要是研究一些多復(fù)變數(shù)全純函數(shù)空間以及幾種算子．這些函數(shù)空間和算子是人們經(jīng)常研究的對象．全文共分六章． 在論文的第一章，我們簡要地介紹了本文常用的一些記號，定義，背景和主要結(jié)果． 在第二章，受 Lipschitz 空間的刻畫和 Lipschitz 型空間等價范數(shù)的啟發(fā)，我們在單位球上定義了一個加權(quán)的 Hardy-Bloch 型空間Λ<'p><,ω,2>(B<,n>)．我們發(fā)現(xiàn) Hardy-Bloch 型空間Λ<'p

2、><,ω,2>(B<,n>)是滿足積分平均 Lipschitz 條件的 Lipschitz空間的補充和延伸，并且證明它從某種意義上講實際上就是混合?？臻gH<,∞,p,ψ>o(Bn)．與利用 Poisson 變換刻畫 Lipschitz 型空間相對應(yīng)的是我們通過函數(shù)的 Berezin 變換來刻畫 Hardy-Bloch 型空間Λ<'1><,ω,2>(B<,n>)和Λ<'1><,ω,2>(B<,n>)．Berezin變換的核是單位球全純自同

3、構(gòu)的體積變化率，它跟函數(shù)空間理論以及算子理論聯(lián)系非常密切．同時，Λ<'p><,ω,2>(B<,n>)作為一個重要的函數(shù)類，我們還研究Λ<'p><,ω,2>(B<,n>)(1≤p<∞)中函數(shù)的積分平均性質(zhì)． 在第三章，首先，我們研究有界對稱域上經(jīng)典的加權(quán) Bergman 空間A<'p>(Ω,dv<,s>)中函數(shù)的特征，這里 0

4、子 D<'α,β>刻畫加權(quán) Bergman 空間A<'p>(Ω,dv<,s>)，這是對單位球上用導(dǎo)數(shù)刻畫 Bergman 空間等價范數(shù)的一種推廣．利用這些特征，我們很自然的把 A<'p>(Ω,dv<,s>)推廣到加權(quán) Bergman 空間A<'p><,α,β>(Ω,dv<,s>)，這里1≤p≤+∞，-∞< s <+∞．這種統(tǒng)一處理包括經(jīng)典的加權(quán) Bergman 空間和 Besov 空間．我們給出了 Bergman 投影在 A<'p><,

5、α,β>(Ω,dv<,s>)上的有界性以及它的對偶空間．由于 Carleson 測度在函數(shù)理論中的重要性，我們利用 Berezin 變換和 Bergman 度量球也刻畫了A<'p><,α,β>(Ω,dv<,s>)上的Carleson 測度和消沒 Carleson 測度．由于此時所討論空間的廣泛性以及Carleson 測度不一定是有限的，因此，得到了一些新結(jié)論并推廣了經(jīng)典的加權(quán) Bergman 空間上的一些結(jié)果． 在第四章，我們研

6、究單位球上的 Bloch 型空間 B<'α>(B<,n>)，考慮 B<'α>(B<,n>) 上的 Toeplitz 算子 T<,μ,α>，這里1≤α<2，μ是單位球 B<,n> 上的一個正的 Borel 測度．給出了 T<,μ,α> 在 B<'α>(B<,n>) 上有界和緊的充分必要條件，完善了單位圓盤D 上同類問題的結(jié)果．我們完全刻畫了 B<,n> 上使得 T<,μ,α> 是有界和緊的正的Borel 測度μ．在第五章，我們進一步研究

7、Bei-gman 空間，考慮在多圓柱 D<'n> 上，什么樣的平方可積的全純函數(shù)，f 和 g 使得稠定的 Toeplitz 型乘積算子 T<,f>T<,g>在 A<'2>(D<'n>)上是有界的，這里 T<,g>是 Toeplitz 型算子，它的核不是 Betgman核．Toeplitz 型乘積算子T<,f>T<,g>與廣泛研究的 Toeplitz 乘積算子 T<,f>T<,g> 相似．已經(jīng)知道 Toeplitz 乘積與函數(shù)論聯(lián)系緊密，

8、也是算子理論中的一個重要研究對象．我們發(fā)現(xiàn)T<,f>T<,g>有界的必要和充分條件跟 f，g 的一個積分變換有關(guān)，這個結(jié)果與 Toeplitz 乘積算子T<,f>T<,g>的結(jié)論類似． 在最后一章，我們調(diào)查研究幾種全純函數(shù)空間，包括 Hardy 空間，Bergman 空間， Bloch 空間，考察了這些函數(shù)類之間的復(fù)合型算子T<,Ψ,ψ>T<,Ψ,ψ> 定義為T<,Ψ,ψ>=Ψfoψ(f∈H(B<,n>))，它是乘法算子和復(fù)合算

9、子的推廣．利用ψ和Ψ的函數(shù)特征，我們給出了單位球B<,n>上T<,Ψ,ψ>從Hardy空間 H<'p>(B<,n>)到μ-Bloch 空間H<,μ>(B<,n>)有界和緊的充要條件，以及單位多圓柱上T<,Ψ,ψ>從Bergman空間 A<'p>(D<,n>)到Bloch空間 B(D<'n>) 有界和緊的充要條件． 總之，通過前面六章的討論，我們更好的理解了單位球、有界對稱域及單位多圓柱等域上全純函數(shù)的性質(zhì)．特別是，推廣了一些經(jīng)典