由冪等元和可逆元生成的相關(guān)環(huán)的結(jié)構(gòu).pdf

1、在環(huán)論中,研究環(huán)中冪等元和可逆元常常被作為研究環(huán)的重要手段。很多環(huán)正是根據(jù)其中元素與冪等元、可逆元的關(guān)系來確定其分類與命名的,例如布爾環(huán)、除環(huán)、clean環(huán)和2-good環(huán)等。如果一個(gè)環(huán)可由其冪等元和可逆元生成,這類環(huán)往往都具有很好的性質(zhì),并可廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域,具有較高的研究價(jià)值。本文針對幾類與冪等元、可逆元密切相關(guān)的環(huán)進(jìn)行了討論,主要包括滿足GM條件的環(huán)、clean環(huán)和左p.p.環(huán)。具體工作如下:
　　首先,構(gòu)造一個(gè)反例,說明

2、有關(guān)半局部環(huán)GM條件的結(jié)論是有漏洞的,并進(jìn)一步給出半局部環(huán)滿足GM條件的充要條件。彌補(bǔ)結(jié)論“半局部環(huán)R滿足GM條件當(dāng)且僅當(dāng)R沒有同態(tài)像同構(gòu)于Z2或Z3”的缺陷,修正了有關(guān)半局部環(huán)GM條件的結(jié)論。此外,鑒于與GM條件密切相關(guān)的兩個(gè)條件,(P)條件和(Q)條件,的刻畫潛在運(yùn)用了GM條件的相關(guān)結(jié)論,本文對此提出了新的論證。這些工作既糾正了前人的結(jié)論,又完善了與GM條件相關(guān)的其他條件的研究,為GM理論的發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。
　　其次

3、,給出一個(gè)*-環(huán)是強(qiáng)*-clean環(huán)的刻畫,并首次引入唯一強(qiáng)*-clean環(huán)的概念。提出并證明一個(gè)*-環(huán)是強(qiáng)*-clean環(huán)的充要條件。另外,回答了Vas提出的兩個(gè)公開問題,討論一個(gè)*-環(huán)是唯一強(qiáng)*-clean環(huán)的等價(jià)條件,并對其環(huán)性質(zhì)進(jìn)行探討。這些工作不僅豐富了強(qiáng)*-clean環(huán)的研究,還對相關(guān)理論的發(fā)展提供了有利的工具。
　　最后,考慮到正則環(huán)上的矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán)都是左p.p.環(huán),且矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán)是結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)的兩種特

4、殊情況,本文完整給出了正則環(huán)上的結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)是左p.p.環(huán)的等價(jià)條件。舉例說明當(dāng)環(huán)R是正則環(huán)時(shí),其上的結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)不一定是左p.p.環(huán)。受此啟發(fā),提出一個(gè)重要技術(shù)性引理,并反復(fù)應(yīng)用該引理完全刻畫在這種條件下結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)為左p.p.環(huán)的條件。此外對結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)上的其它性質(zhì)也進(jìn)行了討論。這一工作的意義在于,雖然正則環(huán)上的某些結(jié)構(gòu)矩陣環(huán)是左p.p.環(huán),但這不是一般現(xiàn)象。文本在此給出了系統(tǒng)的刻畫。
　　本文對以上三類環(huán)的研究豐富了由冪等元和可逆元