單位分解法的最優(yōu)誤差分析和代數(shù)多重網(wǎng)格法的應(yīng)用.pdf

1、本文的工作分兩部分。第一部分主要研究了一類基于局部多項式逼近空間的單位分解法的最優(yōu)誤差估計。近年來，無網(wǎng)格方法被大量應(yīng)用到科學與工程計算中。與經(jīng)典有限元方法相比較，這類方法的共同特征是不再需要網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，它們在處理具有復(fù)雜域的問題或區(qū)域在求解過程中變化的問題時非常有效。單位分解法是非常重要的無網(wǎng)格方法之一，其兩大主要特點是：一方面，它允許使用支集不依賴于網(wǎng)格或依賴于不與問題域一致的簡單網(wǎng)格的單位分解函數(shù)(例如Shepard函數(shù))，在此意義

2、下，PUM是一種無網(wǎng)格方法，這個特征免去了網(wǎng)格生成；另一方面，局部逼近空間可以包含非多項式函數(shù)，從而很好地局部逼近未知解。
　　 這兩大特征使單位分解法得到了迅速發(fā)展。雖然有關(guān)單位分解法的文獻較多，但大部分都側(cè)重于工程應(yīng)用，只有極少數(shù)的數(shù)學理論分析，主要以I．Babuska和他的合作者為代表做了很多奠基性工作。但I．Babuska等現(xiàn)有的關(guān)于單位分解法的插值誤差估計還沒有獲得最優(yōu)階，本文第一部分的主要工作就是：通過構(gòu)造一種特殊的

3、局部多項式近似空間，以獲得最優(yōu)階插值誤差估計。為此，作者從有限元方法的誤差收斂階入手，針對一類特殊的單位分解方法(取通常的有限元基函數(shù)作單位分解)進行分析，構(gòu)造了一個特殊的局部多項式逼近空間，給出了一維下高次單位分解插值格式和二維下低次單位分解插值格式，推導(dǎo)了相應(yīng)的最優(yōu)階插值誤差，并研究了一維下Galerkin解的誤差估計。
　　 第二部分主要研究了求解一類橢圓型變分不等式的修正自適應(yīng)代數(shù)多重網(wǎng)格法及其并行化。根據(jù)離散的橢圓型變